2.2.3 Mittlere Defektdichte: Extrinsische Diffusion

Ab einer gewissen Konzentration sind zwar die einzelnen Teilchen noch so weit voneinander entfernt, daß sie sich nicht direkt beeinflussen können, jedoch beeinflußt die Ladung der ionisierten Dopanden die Potentialverteilung im Halbleiter. Dadurch verändert sich die Energiebarriere, die bei einem Platzwechselvorgang zu überwinden ist. Während die absolute Höhe dieser Barriere sich erst bei sehr hohen Konzentrationen ändert, tritt durch die Verzerrung der Bandkanten ein Gefälle der Barrierenmaxima auf. Dieses Gefälle entspricht dem elektrischen Potential im Halbleiter, welches durch den Aufbau von Raumladungszonen in Gebieten mit variabler Dopandenkonzentration entsteht und wirkt sich auf die Anzahl der freien Ladungsträger n aus:

$$n=\frac{C_{\mathrm net}}{2} + \sqrt{n_i^2 + \frac{C_{\mathrm net}^2}{4}}.$$ (2.2)

$C_{\mathrm net}$ entspricht dabei, unter der Annahme der Ladungsneutralität, dem netto Überschuß an Ladungsträgern, die von Dopanden durch Ionisierung abgegeben beziehungsweise aufgenommen wurden.

Durch dieses Gefälle in den Energiebarrieren wird eine Sprungrichtung energetisch bevorzugt, was einer resultierenden Kraft auf das Teilchen entspricht. Berücksichtigt man diese Kräfte, erhält man eine erweiterte Form des ersten Fick'schen Gesetzes [Hu68]:

$$J=-D\nabla C + DC\frac{F}{kT},$$ (2.3)

wobei der Diffusionstrom um den zweiten Term proportional der Konzentration C und der Kraft F erweitert wurde.

Im Falle elektrisch geladener Teilchen berechnet sich diese Kraft aus der vorzeichenbehafteten Anzahl z der Ladungen des Teilchens, der Elementarladung q_e und dem elektrischen Potential $\Psi$ zu

$$F=z q_{e} \nabla \Psi.$$ (2.4)

Im Falle technologisch relevanter Prozesse kann davon ausgegangen werden, daß die Ionisierungsreaktionen wesentlich schneller ablaufen als die betrachteten Diffusionsvorgänge, sodaß von elektrischer Quasi-Neutralität ausgegangen werden kann. Unter dieser Voraussetzung kann

$$\nabla \Psi = \frac{U_T\nabla C_{\mathrm net}}{\sqrt{(2n_i)^2 + C_{\mathrm net}^2}}$$ (2.5)

gesetzt werden, wodurch die gegenseitige Beeinflussung der Partikeltypen offenbar wird.