4.1 Numerische Darstellung verteilter Größen

 

Zur numerischen Berechnung partieller Differentialgleichungen muß eine diskrete Darstellung der gesuchten verteilten Größe gewählt werden. Sowohl die Methode der finiten Elemente als auch die Methode der finiten Boxen verwendet die Darstellung auf Gittern. Ein Gitter besteht aus Knoten und Elementen, welche zwischen den Knoten definiert sind. Jedem Knoten i eines Elementes sind Funktionswerte a_i zugeordnet. Die Nachbarschaftsbeziehungen zwischen den Knoten werden mithilfe der Elemente beschrieben.

Im Falle der FEM sind auf den Elementen die Interpolationsvorschriften N_i definiert, welche zur Repräsentation des Funktionsverlaufes zwischen den Knoten dienen. Innerhalb eines Elementes e ist die numerische Näherung ${\hat{u}}_e$ an die exakte Funktion u_e mit

$${\hat{u}}_e=\sum_i{N_ia_i}$$ (4.1)

gegeben. Da die Formfunktionen N_i üblicherweise außerhalb des Elementes identisch 0 definiert sind, kann die Näherung im Simulationsgebiet $\Omega$ per

$${\hat{u}}_\Omega = \sum_j {\hat{u}}_e = \sum_j\sum_i N_ia_i = \mathbf {N}\mathbf {a}$$ (4.2)

definiert werden, wobei die Schreibweise in Matrizenform (rechts) gebräuchlich ist.

Die hauptsächlich als Formfunktionen verwendeten Funktionsklassen sind polynomiale Ansätze erster (lineare Formfunktionen) und zweiter Ordnung (quadratische Formfunktionen). Seltener kommen auch Ansätze höherer Ordnung zur Anwendung. In speziellen Fällen werden gerne problemangepaßte Formfunktionen verwendet. So wird zur Lösung der Drift-Diffusionsgleichung die analytische Lösung des eindimensionalen Pendants als Formfunktion verwendet und damit ein erheblicher Genauigkeitsgewinn erzielt, beziehungsweise eine stabile Lösung erst ermöglicht [Sch69] [Hei77].