Zur numerischen Berechnung partieller Differentialgleichungen muß eine diskrete Darstellung der gesuchten verteilten Größe gewählt werden. Sowohl die Methode der finiten Elemente als auch die Methode der finiten Boxen verwendet die Darstellung auf Gittern. Ein Gitter besteht aus Knoten und Elementen, welche zwischen den Knoten definiert sind. Jedem Knoten i eines Elementes sind Funktionswerte ai zugeordnet. Die Nachbarschaftsbeziehungen zwischen den Knoten werden mithilfe der Elemente beschrieben.
Im Falle der FEM sind auf den Elementen die Interpolationsvorschriften Ni definiert, welche
zur Repräsentation des Funktionsverlaufes zwischen den Knoten dienen.
Innerhalb eines Elementes e ist die numerische Näherung an die exakte
Funktion ue mit
Die hauptsächlich als Formfunktionen verwendeten Funktionsklassen sind polynomiale Ansätze
erster (lineare Formfunktionen) und zweiter Ordnung (quadratische Formfunktionen). Seltener
kommen auch Ansätze höherer Ordnung zur Anwendung. In speziellen Fällen werden gerne
problemangepaßte Formfunktionen verwendet. So wird zur Lösung der Drift-Diffusionsgleichung
die analytische Lösung des eindimensionalen Pendants als Formfunktion verwendet und damit ein
erheblicher Genauigkeitsgewinn erzielt, beziehungsweise eine stabile Lösung erst
ermöglicht [Sch69] [Hei77].