Deterministic Solution of the Boltzmann Equation for Device Reliability Investigations

The geometry of metal-oxide-semiconductor field-effect transistors (MOSFETs) continues to shrink with each technology generation. As the supply voltages cannot be reduced at  the same rate without jeopardizing reliable device operation, the electric fields within the devices increase. As a result, charge carriers can gain high energies, which are sufficient to break atomic bonds or ionize neutral atoms. To study such device degradation effects, the carrier distribution with respect to momentum is of utmost interest, since it essentially determines the defect creation probability. Within this project we plan to develop efficient and accurate methods for the computation of the carrier distribution function in order to improve the performance and reliability of future semiconductor devices.

Established macroscopic models for carrier transport in semiconductor devices only yield rough estimates of the carrier density function at each point in the device. To obtain the required level of detail, the seven-dimensional Boltzmann transport equation (BTE) has to be solved. Unfortunately, even with modern computers, the numerical solution of the BTE is very challenging. The most prominent solution technique is the stochastic Monte Carlo method. However, the stochastic nature of the method leads to excessive execution times when low probability regions of the distribution function have to be accurately resolved. Since these low probability regions describe the carriers with highest energy, the Monte Carlo method is not satisfactory for the study of hot carrier degradation effects in semiconductor devices.

As an alternative, the BTE can be solved using deterministic solution methods. In this project we focus on the deterministic spherical harmonics expansion (SHE) method, which has a sound mathematical and physical basis and has already provided excellent results in one- and two-dimensional scenarios at much shorter simulation times than Monte Carlo methods. Still, a limiting factor of the SHE method is the huge memory requirement.

We plan to apply state-of-the art discretization schemes to the SHE method and incorporate additional details from a physical point of view in order to obtain a solid foundation for further reliability studies. To tackle the high complexity of the BTE, the numerical solution methods and the physical models involved, the expertise of both the Institute for Microelectronics and the Institute for Analysis and Scientific Computing are required and will be joined in this project.

Die Abmessungen von Metall-Oxid-Halbleiter-Feldeffekttransistoren verkleinern sich weiterhin mit jeder neuen Technologiegeneration. Da die Versorgungsspannung jedoch nicht mehr in gleichem Maße reduziert werden kann, ohne die zuverlässige Funktion zu beeinträchtigen, steigen die elektrischen Felder innerhalb des  Bauteils. Als Konsequenz dessen können Ladungsträger hohe Energien erreichen, welche für das Aufbrechen atomarer Bindungen oder das Ionisieren neutral geladener Atome ausreichen. Um derartige Degradationseffekte zu untersuchen, ist die Ladungsträgerverteilungsfunktion von höchstem Interesse, da sie im Wesentlichen die Wahrscheinlichkeit der Störstellenerzeugung bestimmt. Wir planen innerhalb dieses Projekts effiziente und präzise Methoden zur Berechnung der  Ladungsträgerverteilungsfunktion zu entwickeln, um die Leistung und die Zuverlässigkeit zukünftiger Halbleiterbauteile zu erhöhen.

Bestehende Modelle für den Ladungsträgertransport in Halbleiterbauelementen erlauben nur eine ungenaue Berechnung der Ladungsträgerverteilungsfunktion in jedem Ortspunkt innerhalb des Bauteils. Um die nötige Genauigkeit zu erhalten, muss die siebendimensionale Boltzmanngleichung gelöst werden, was sich jedoch selbst auf modernen Rechnern als äußert schwierig erweist. Die verbreitetste Lösungsmethode ist die stochastische Monte Carlo Methode. Allerdings führt dieser stochastische Zugang zu enormen Rechenzeiten, wenn eine gute Auflösung der Verteilungsfunktion in Regionen geringer Aufenthaltswahrscheinlichkeiten gefragt ist. Da aber genau diese Regionen die Ladungsträger mit hohen Energien beschreiben, ist die Monte Carlo Methode für die Untersuchung der Degradierung von Bauelementen nicht zufriedenstellend.

Alternativ kann die Boltzmanngleichung auch mit deterministischen Methoden gelöst werden. Innerhalb dieses Projekts fokussieren wir uns auf die deterministische Methode der Entwicklung in Kugelflächenfunktionen (SHE-Methode), welche auf mathematisch und physikalisch vernünftigen Annahmen fußt und bereits exzellente Resultate für ein- und zweidimensionale Bauteilsimulationen bei gleichzeitig wesentlich kürzeren Rechenzeiten als bei Monte Carlo Methoden geliefert hat. Ein limitierender Faktor dieser Methode ist jedoch ihr enormer Speicherbedarf.

Wir planen moderne Diskretisierungstechniken für die SHE-Methode zu verwenden und weitere physikalische Details zu berücksichtigen, um ein tragfähiges Fundament für weitere Zuverlässigkeitsuntersuchungen bereitzustellen. Um die hohe Komplexität der Boltzmanngleichung, der numerischen Methoden sowie der physikalischen Effekte zu bewältigen, wird sowohl die Expertise des Instituts für Mikroelektronik als auch die des Instituts für Analysis und Scientific Computing benötigt und in diesem Projekt vereint.