5.2.1 Die $\mbox{${\vec{k} \cdot \vec{p}}$}$ Methode

  Die $\mbox{${\vec{k} \cdot \vec{p}}$}$ Methode ist eine Anwendung der stationären Störungstheorie der Quantenmechanik . Als solche gestattet sie die Berechnung der Bandstruktur  in der Umgebung der Bandkanten im Gegensatz zu anderen Methoden, welche die Bandstruktur in der ganzen Brillouinzone beschreiben (``tight-binding'', LCAO, ``pseudopotentials''). Im Vergleich zu diesen ab initio Rechnungen ist sie relativ einfach, benötigt allerdings Eigenschaften der wirklichen Bandstruktur als Eingangsparameter. Dieses im Zuge des Rechenvorgangs relativ späte Einfließen experimenteller Daten hat aber andererseits den Vorteil, dadurch oft bessere Übereinstimmung mit der Realität zu erzielen. Da man ohnedies meist nur an der Charakteristik in der Nähe der Bandextrema interessiert ist (EMA), ist die Anwendung der $\mbox{${\vec{k} \cdot \vec{p}}$}$ Methode sehr populär und instruktiv, gibt sie doch anschauliche Resultate für die experimentell feststellbaren Zusammenhänge. In der Folge ist zunächst die stationäre Störungstheorie (Perturbationsmethode) der Quantenmechanik kurz rekapituliert [145].

Ausgehend von der bekannten Lösung eines Eigenwertproblems des Operators ${\cal H}_0$

$${\cal H}_0\,\psi_n = E_{n,0}\,\psi_n$$ (5.26)

für die Eigenwerte E_n,0 und Eigenzustände $\psi_n$ erlaubt sie, in sehr eleganter Weise die Lösung eines schwach gestörten Systems näherungsweise zu ermitteln. Der Operator des gestörten Systems sei

$${\cal H}= {\cal H}_0 + {\cal H}_1\,.$$ (5.27)

Die Eigenwerte des gestörten Systems lassen sich in eine Reihe entwickeln,

$$E_n = E_{n,0} +\sum_i \Delta E_{n,i}\,,$$ (5.28)

wobei die Korrekturen $\Delta E_{n,i}$ nur Funktionen der Eigenwerte und Eigenzustände des ungestörten Ausgangssystem sind. i ist die Ordnung der Störungsrechnung. Der Korrekturterm erster Ordnung für den nicht entarteten Eigenwert E_n ist das Matrixelement  des Störoperators,

$$\Delta E_{n,1} = \langle \psi_n\vert {\cal H}_1\vert\psi_n\rangle\,.$$ (5.29)

Die verwendete Dirac Notation  des Matrixelements steht für

$$\langle \psi_m\vert{\cal H}_1\vert\psi_n\rangle = \int \psi_m^*\,{\cal H}_1\,\psi_n \; \mathrm{d}^3 r\,.$$ (5.30)

Der Korrekturterm zweiter Ordnung hat die Form

$$\Delta E_{n,2} = \sum_{m\neq n} \frac{\vert\langle\psi_m\vert{\cal H}_1\vert\psi_n\rangle\vert^2} {E_{n,0}-E_{m,0}}\,.$$ (5.31)

In analoger Form gibt es auch eine Entwicklung für die Eigenzustände des gestörten Systems.

Die Perturbationsmethode zweiter Ordnung wird nun zur Berechnung der Bandstruktur, also der Eigenwerte der Schrödingergleichung  für die Kristallelektronen, angewendet. Betrachtet man die Schrödingergleichung in der zeitunabhängigen Form,

$$\left(\frac{p^2}{2\,m_0} + V(\vec{r})\right)\psi_n = E_n \psi_n\,,$$ (5.32)

so setzt sich der Hamilton Operator ${\cal H}$  aus dem Impulsoperator  $\vec{p}=\frac{\hbar}{j}\nabla$ (kinetische Energie) und dem Operator der potentiellen Energie $V(\vec{r})$ zusammen, n ist der Bandindex. Setzt man für die Eigenzustände Blochfunktionen  (Abschnitt 3.2) an,

$$\psi_n(\vec{k},\vec{r}) = u_n(\vec{r})\,\exp(j\,\mbox{${\vec{k} \cdot \vec{r}}$})\,,$$ (5.33)

so erhält man

$$\left(\frac{1}{2\,m_0}\left(\vec{p}+\hbar\,\vec{k}\right)^2 + V(\vec{r})\right) u_n = E_n\,u_n\,.$$ (5.34)

Für einen bestimmten Wert $\vec{k}=\vec{k}_0$, einfacherweise $\vec{k}_0=\vec{0}$ ($\varGamma$), kennt man die Lösung von

$$\left(\frac{p^2}{2\,m_0} + V(\vec{r})\right)u_n = E_n\,u_n\,,$$ (5.35)

also die Bandstruktur $E_n(\vec{k}_0)$. Dann ist der Störoperator gegeben durch

$${\cal H}_1 = \frac{\hbar}{m_0}\,\mbox{${\vec{k} \cdot \vec{p}}$}+\frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_0}\,.$$ (5.36)

Der erste Term des Störoperators ist linear in $\vec{k}$, er ist auch der Grund für die Namensbezeichnung dieser Methode. Die Korrektur erster Ordnung (5.29) liefert

$$\Delta E_{n,1} = \frac{\hbar}{m_0}\,\vec{k}\cdot\langle u_n... ...} \langle u_n\vert u_n\rangle = \frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_0}\,,$$ (5.37)

also nur quadratische Anteile in k, wobei die Tatsache des relativen Extremums und die Normierung von $\psi$ benützt wurden. Die Korrektur zweiter Ordnung (5.31) mit Potenzen bis k² lautet

$$\Delta E_{n,2} = \frac{\hbar^2}{m_0^2} \sum_{m\neq n} \fr... ...ert\vec{p}\vert u_n\rangle\vert^2}{E_{n,0}-E_{m,0}} +O(k^4)\,.$$ (5.38)

Die so gefundene Beziehung für $E_n(\vec{k})$ bis zur zweiten Potenz in k ist die Bandstruktur für $\vec{k}\neq \vec{k}_0$ in der Umgebung des Extremums $\vec{k_0}$

$$E_{n}(\vec{k}) = E_{n,0} + \frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_0}+\fra... ... u_m\vert\vec{p}\vert u_n\rangle\vert^2} {E_{n,0}-E_{m,0}}\,.$$ (5.39)

Sie erlaubt es, den Tensor der effektiven Masse des Bandes n zu bestimmen. Aus dem Vergleich des Ergebnisses (5.39) mit der allgemeinen Darstellung der analytischen Bandstruktur in der EMA 

$$E_n(\vec{k}) = E_{n,0}+\frac{\hbar^2}{2\,m_0}\vec{k}\cdot \left(\frac{m_0}{m_n}\right)^{-1}_{ij} \cdot\vec{k}$$ (5.40)

folgt also

$$\left(\frac{m_0}{m_n}\right)^{-1}_{ij} = \delta_{ij} + \fr... ...angle\langle u_m\vert p_j\vert u_n\rangle}{E_{n,0}-E_{m,0}}\,.$$ (5.41)

Zur Bestimmung der effektiven Masse ist also die Kenntnis der Bandenergien E_n,0 und der Impulsmatrixelemente  $\langle u_m\vert\vec{p}\vert u_n\rangle$ (``momentum matrix element'') und damit der Wellenfunktionen u_n nötig. Aufgrund der Symmetrie kubischer HL sind allerdings nur wenige dieser auch Interbandmatrixelemente genannten Ausdrücke von Null verschieden. Als wichtigstes Beispiel wird die effektive Masse des Leitungsbands direkter HL betrachtet. Die LB Zustände bei $\varGamma$ sind sphärisch symmetrisch (s-Symmetrie), die VB Zustände weisen Vorzugsrichtungen entlang der Koordinatenachsen auf (p-Symmetrie). Die einzigen nicht verschwindenden Matrixelemente sind von der Form $\langle i\vert p_i\vert s\rangle$. Zusätzlich gilt $\langle x\vert p_x\vert s\rangle = \langle y\vert p_y\vert s\rangle = \langle z\vert p_z\vert s\rangle$, das heißt die Bestimmung der Wechselwirkung zwischen dem ersten LB und dem VB bei $\varGamma$ reduziert sich auf ein Matrixelement. Meist wird dieses kurz als das LB-VB Matrixelement bezeichnet und in der Form einer Wechselwirkungsenergie

$$E_p= \frac{2}{m_0}\,\langle x\vert p_x\vert s\rangle$$ (5.42)

verwendet. E_p ist dann eine einfache Materialkonstante.

Offen ist nun noch die Frage, wieviele Bänder zur Bestimmung der Masse des betrachteten LB nötig sind. Einerseits sind die Matrixelemente zwischen dem ersten und den nächsthöheren LB wesentlich kleiner als E_p [85]. Aufgrund der Abhängigkeit von (5.41) von den Bandabständen E_n-E_m sieht man andererseits, daß energetisch nähere Bänder stärkeren Einfluß haben. Unter Beachtung der Bandstruktur von III-V HL (vgl. Abbildung 3.5) erkennt man weiters, daß zur Bestimmung von ${m_{}^{\varGamma}}$ das Valenzband ausreichend ist. Höhere LB sind im allgemeinen vernachlässigbar, liegen sie doch bei $\varGamma$ um den Faktor 3 weiter entfernt als das VB. Aus der Anzahl der berücksichtigten Bänder leitet sich auch die genauere Klassifikation der Methode ab. Im Fall der Verwendung von erstem LB und hh, lh und so VB spricht man von einer ``4-Band $\mbox{${\vec{k} \cdot \vec{p}}$}$ Rechnung''. Aus dieser folgt also der Ausdruck für die effektive Masse in Einheiten der freien Elektronenmasse m₀ 

$$\frac{m_0}{{m_{}^{\varGamma}}} = 1 + \frac{E_p}{3} \left(\f... ... + \frac{1}{{E_{\mathrm{}}^{\varGamma}}+{\varDelta_0}}\right).$$ (5.43)

Man erkennt, daß die direkte Bandlücke und die effektive Masse stark gekoppelt sind. Je kleiner die Bandlücke desto kleiner ist auch die Masse ($\frac{{m_{}^{\varGamma}}}{m_0}\approx \frac{{E_{\mathrm{}}^{\varGamma}}}{E_p}$).