Unterabschnitte

• 2.4.1 Dreidimensionale Ladungsträgerkonzentration
• 2.4.2 Zweidimensionale Ladungsträgerkonzentration
• 2.4.3 Diskretisierung der Poisson-Gleichung
• 2.4.4 Ableitung der Elektronendichte

2.4 Poisson-Gleichung

Bei der Betrachtung der Schrödinger-Gleichung haben wir den Verlauf des Potenzials als bekannt vorausgesetzt. Dieses Potenzial ist aus der Poisson-Gleichung zu bestimmen.

$${} \nabla D = \rho \rho = -e ({\ensuremath{n_{cl}}}+{\ensuremath{n_{q}}}-p-N_D^+ + N_A^- )$$ (2.65)

$$\qquad D = {\ensuremath{\epsilon}}E E = -\nabla {\ensuremath{\phi}}$$

Beim Übergang zwischen zwei Schichten ergibt sich ein Sprung in der Dielektrizitätskonstante ${\ensuremath{\epsilon}}$. Die Raumladungsdichte $\rho$ besteht aus mehreren Komponenten. Für die Beschreibung der ortsfesten Ladungen im Simulationsgebiet werden die Konzentration der Donatoren und Akzeptoren, $N_D^+$ und $N_A^-$, verwendet. $p$ steht für die Löcherkonzentration. Bei den Elektronen wird der Beitrag der nicht quantisiert betrachteten Elektronen durch ${\ensuremath{n_{cl}}}$ berücksichtigt. Der Anteil ${\ensuremath{n_{q}}}$ der Elektronenkonzentration wird aus den Lösungen der Schrödinger-Gleichung berechnet.

2.4.1 Dreidimensionale Ladungsträgerkonzentration

Die Beschreibung der Ladungsträger erfolgt über diskrete Zustände im ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}$-Raum. Bei der klassischen Betrachtung wird angenommen, dass die Dichte dieser Zustände ausreicht, um eine kontinuierliche Mittelung vornehmen zu können. Es wird dabei über alle diskreten Zustände summiert und die mittlere Ladungsträgerkonzentration wie folgt angeschrieben.

$${} n\left({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}\right) =... ...\vec{\mathtt{r}}}}}}\right) d {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}$$ (2.66)

Die Zustandsdichte ${\ensuremath{\varrho}}_{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}$ gibt die Dichte der Zustände im ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}$-Raum an und berücksichtigt eine etwaige Entartung der betrachteten Zustände. Für einen Zustand ergibt sich dabei unter Berücksichtigung der Entartung ${\ensuremath{g_{v}}}$ der betrachteten Talsorte $v$ und einem Faktor $2$ für die beiden Spinzustände eine Gesamtentartung von $2 {\ensuremath{g_{v}}}$. Bezogen auf das Einheitsvolumen $8 \pi^3 /V$ ergibt sich die Zustandsdichte im ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}$-Raum zu

$${\ensuremath{\varrho}}_{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}= \frac{2 {\ensuremath{g_{v}}}}{8 \pi^3}.$$ (2.67)

Für die Besetzungswahrscheinlichkeit ${\ensuremath{f}}\left({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}},{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}\right)$ wird die Fermi-Dirac-Statistik verwendet. Unter Benutzung des Begriffs der Fermi-Energie ${\ensuremath{E_F}}$ und der Elektronentemperatur ${\ensuremath{T}}$, welche hier mit der Gittertemperatur gleichgesetzt wird, lautet die Wahrscheinlichkeit für die Besetzung eines Zustands mit der Energie ${\ensuremath{{\cal E}}}$

$${} {\ensuremath{f}}\left( {\ensuremath{{\cal E}}},{\ensuremath{{\... ...h{\vec{\mathtt{r}}}}}}) - {\ensuremath{E_F}}}{{\ensuremath{k_B}}T} \right) +1}.$$ (2.68)

Wir haben nun die Besetzungswahrscheinlichkeit als Funktion der Energie, die Zustandsdichte jedoch im ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}$-Raum vorliegen. Eine Umformung zwischen den beiden Darstellungen kann über die Teilchenerhaltung erfolgen.

$${} \int_{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}{\ensuremat... ...\ensuremath{f}}\left({\ensuremath{{\cal E}}}\right) d{\ensuremath{{\cal E}}}$$ (2.69)

Bei gegebener Dispersionsrelation ${\ensuremath{{\cal E}}}\left({k}\right)$ kann die Besetzungswahrscheinlichkeit ${\ensuremath{f}}\left({\ensuremath{{\cal E}}}\left({k}\right)\right)$ auf der linken Seite von (2.71) eingesetzt werden, und durch Umformen der Integrationsvariablen die Zustandsdichte über der Energie ausgedrückt werden.

Für den Wechsel der Integrationsvariablen vom Wellenvektor auf die Energie bieten sich Polarkoordinaten und damit die Umformung $d{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}= {k}^2 \sin (\theta) d\Phi d\theta d{k}$ an. Darin laufen die beiden Winkel $\Phi$ und $\theta$ von 0 bis $2\pi$ beziehungsweise von 0 bis $\pi$. Bei Verwendung der parabolischen Dispersionsrelation (2.33) ergibt sich durch Einsetzen in (2.71) die bekannte Formel

$${} {\ensuremath{\varrho}}_{3D} ({\ensuremath{{\cal E}}}) = \frac{... ...} \left( \frac{2 m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{ {\ensuremath{{\cal E}}}}.$$ (2.70)

Für die nichtparabolische Dispersionsrelation nach (1.15) ergibt sich eine vom Nichtparabolizitätskoeffizienten abhängige Zustandsdichte.

$${} {\ensuremath{\varrho}}_{3D,np} ({\ensuremath{{\cal E}}}) = \fr... ...nsuremath{{\cal E}}})} (1+2 {\ensuremath{\alpha}} {\ensuremath{{\cal E}}})$$ (2.71)

Bei der Berechnung der Trägerkonzentration wollen wir einen hier verwendeten Spezialfall betrachten, in dem die Integration nicht bei der Energie der Leitungsbandkante, sondern bei einer höher gelegenen Energie ${\ensuremath{E_{lim}}}$ beginnen soll. Auf diese Weise setzt sich die Elektronenkonzentration aus zwei Beiträgen zusammen, dem klassischen Anteil ${\ensuremath{n_{cl}}}$ und einem Anteil ${\ensuremath{n_{q}}}$, der aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung berechnet wird.

Nach Einsetzen der Zustandsdichten (2.72) und (2.73) in (2.68) ergibt die Berechnung der Elektronenkonzentration im nicht quantisierten Fall (Index 3D):

$${} n_{3D} = N_c {{\cal F}_{1/2}\left( b,\eta \right)}$$

$$n_{3D,np} = \frac{{\ensuremath{g_{v}}}}{2 \pi^2} \left( \frac{2 m}{\hbar^... ...h{E_F}}}{{\ensuremath{k_B}} {\ensuremath{T}}}\right)} d{\ensuremath{{\cal E}}}$$

$$\approx N_c \left( {{\cal F}_{1/2}\left( b,\eta \right)}+3 \beta {{\cal F}_{3/2}\left( b,\eta \right)}\right)$$ (2.72)

Für den nicht parabolischen Fall (Index np) wurde, unter Annahme der bei Raumtemperatur zu erwartenden Energien und dem in Silizium üblichen Nichtparabolizitätskoeffizienten, der unter der Wurzel auftretende Term $1+{\ensuremath{\alpha}} {\ensuremath{{\cal E}}}$ vernachlässigt. So erhält man im parabolischen und im nicht parabolischen Fall einen Ausdruck, der die unvollständigen Fermi-Integrale ${{\cal F}_{i}\left( b,\eta \right)}$ aus Anhang A.2 verwendet. Zwecks einfacherer Schreibweise wurden einige Größen eingeführt, die im weiteren statt der Energie der Leitungsbandkante, der eben besprochenen Energiebarriere ${\ensuremath{E_{lim}}}$ und des Nichtparabolizitätskoeffizienten verwendet werden.

$${} \eta = \frac{{\ensuremath{E_F}}-{\ensuremath{E_c}}}{{\ensuremath{k_B}}T}$$

$$b = \frac{{\ensuremath{E_{lim}}}-{\ensuremath{E_c}}}{{\ensuremath{k_B}}T}$$

$$\beta = {\ensuremath{\alpha}} {\ensuremath{k_B}} T$$

$$N_c = 2 \left( \frac{m {\ensuremath{k_B}} T}{2 \pi \hbar^2} \right)^{3/2}$$ (2.73)

2.4.2 Zweidimensionale Ladungsträgerkonzentration

Für die zweidimensionale Ladungsträgerkonzentration ist die Bewegung in einer Raumrichtung quantisiert und die Ladungsträgerkonzentration wird in dieser Richtung über die einhüllenden Funktionen ${\ensuremath{\zeta}}_n$ aus dem Separationsansatz (2.4) beschrieben. Die Dichte der Zustände in einer Ebene des ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}$-Raumes beträgt

$${\ensuremath{\varrho}}_{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}= \frac{2 {\ensuremath{g_{v}}}}{4 \pi^2}.$$ (2.74)

Im Integral (2.71) wird nur der Anteil aus der Bewegung in der Parallelrichtung betrachtet. Bei der Umwandlung zwischen der Energie und der Parallelkomponente des Wellenvektors folgt aus $d{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{K}}}}}}= {K}d\Phi d{K}$ und der parabolischen Dispersionsrelation eine konstante Dichte. Bei Berücksichtigung der nichtparabolischen Korrektur ergibt sich aus der Ableitung der Energie nach dem Wellenvektor der Faktor $1+2 {\ensuremath{\alpha}} {\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}}$.

$${\ensuremath{\varrho}}_{n,2D}({\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}}) = \frac{{\ensuremath{g_{v}}} m_n}{\pi \hbar^2}$$

$${} n_{2D,np}({\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}}) = {\ensuremath{\varrho}}_{n,2D}({\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}... ...1+2 {\ensuremath{\alpha}} {\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}}\right)$$ (2.75)

Die kinetische Energie bezieht sich auf das Energieminimum im Subband $n$

$${\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}}= {\ensuremath{{\cal E}}}- {\ensuremath{{E}}}_n$$ (2.76)

(2.77) gibt die Zustandsdichte für ein einzelnes Subband $n$ an. Der prinzipielle Verlauf der gesamten Zustandsdichte unter Berücksichtigung mehrerer Subbänder ist in Abbildung 2.6 skizziert. Im Fall der nichtparabolischen Korrektur erhält man anstelle der konstanten Dichte eine mit der Energie linear ansteigende Funktion. Der Verlauf der nichtquantisierten Zustandsdichte ist durch die strichpunktierte Linie angedeutet.

Abbildung 2.6: Verlauf der Zustandsdichte im quantisierten Fall mit (rechts) und ohne (links) nichtparabolische Korrektur.

Bei der Berechnung der Elektronenkonzentration im quantisierten Fall ist über die diskreten Zustände zu summieren und über die kontinuierlichen Zustände zu integrieren.

$${} {\ensuremath{n_{q}}}(z) = \sum_v\sum_n \int_{{\ensuremath{{\en... ...{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}}) d{\ensuremath{{\ensuremath{{\cal E}}}_\Vert}}.$$ (2.77)

In der Summation läuft der Index $v$ über alle Talsorten und der Index $n$ über alle Subbänder je Talsorte. Bei den Integrationsgrenzen muss das in unserem Fall verwendete Energielimit als obere Schranke berücksichtigt werden. Setzt man in (2.79) die Fermi-Verteilung (2.70) ein und wertet die Integration über die Energie sowohl im parabolischen als auch im nichtparabolischen Fall aus so erhält man:

$${} {\ensuremath{n_{q}}}(z) = \sum_v\sum_n {\ensuremath{\varrho}}_{n,2D} \vert{\ensuremath{\... ... \left( \frac{1+\exp\left[\eta -b_n\right]}{1+\exp\left[\eta - b\right]}\right)$$ (2.78)

$${} {\ensuremath{n_{q}}}_{np}(z) = \sum_v\sum_n {\ensuremath{\varrho}}_{n,2D} \vert{\ensuremath{\zeta}}_n(z)\vert^2 k_B T \cdot$$ (2.79)

$$\Bigl\{ \Bigr. \; (1 - 2 \beta b_n) \log \left( \frac{1+\exp\left(\eta -b_n\right)}{1+\exp\left(\eta - b\right)}\right)$$

$$+ 2 \beta \left( {{\cal F}_{1/2}\left( b_n,\eta \right)}-{{\cal F}_{1/2}\left( b,\eta \right)}\right) \;\Bigl.\Bigr\}$$

Zusätzlich zu den Größen (2.75) haben wir hier die von den Eigenwerten ${\ensuremath{{E}}}_n$ abhängigen Größen $b_n$ verwendet.

$$b_n = \frac{{\ensuremath{{E}}}_n-{\ensuremath{E_c}}}{{\ensuremath{k_B}} T}$$ (2.80)

Abbildung 2.7: Zerlegung der Elektronenkonzentration in klassischen und quantenmechanischen Anteil.

Abbildung 2.7 zeigt den quantenmechanisch und den klassisch Berechneten Anteil an der Elektronenkonzentration im Inversionskanal eines MOS-Transistors.

2.4.3 Diskretisierung der Poisson-Gleichung

Abbildung 2.8: Eindimensionale Diskretisierung mittels Boxintegration und Definition von linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert.

Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung (2.52) liegen im Fourier-Bereich vor. Die Berechnung der Trägerkonzentration nach (2.81) wird jedoch im Ortsraum durchgeführt. Diese Trägerkonzentration ist über die einhüllenden Funktionen ${\ensuremath{\zeta}}_n(z)$ und den Verlauf der Bandkanten von der Koordinate $z$ abhängig, und wird bei der Lösung der Poisson-Gleichung (2.67) im Ortsraum verwendet. Mit der Methode der Boxintegration erhalten wir eine Diskretisierung der eindimensionalen Poisson-Gleichung, in der unstetige Größen wie die Dielektrizitätskonstante berücksichtigt werden. Für einen Gitterpunkt $i$ ergibt sich der folgende Zusammenhang für die Potenzialwerte der Nachbarpunkte.

$$f\left( {\ensuremath{\phi}}_{i-1},{\ensuremath{\phi}}_{i},{\ensuremath{\phi}}_{i+1}\right) = {} {\ensuremath{\epsilon}}_i \frac{{\ensuremath{\phi}}_{i+1}-{\en... ..._{i-1}}{2} {\ensuremath{\rho}}_{l} +\frac{h_{i}}{2} {\ensuremath{\rho}}_{r} = 0$$ (2.81)

$$h_i = z_{i+1} - z_i$$

An allen Kontaktstellen zwischen zwei verschiedenen Materialien ist es notwendig rechtsseitige (Index $r$) und linksseitige (Index $l$) Werte für die nicht kontinuierlichen Größen wie zum Beispiel der Ladungsträgerkonzentration zu verwenden. Die Verhältnisse für einen Gitterpunkt mit dem Index $i$ an dem die Größe $n(z)$ eine Diskontinuität aufweist, sowie die verwendeten Boxen für die Boxintegration sind in Abbildung 2.8 skizziert. Für jene Materialeigenschaften, die nicht auf den Gitterpunkten definiert sind, also beispielsweise für die Dielektrizitätskonstante ${\ensuremath{\epsilon}}_i$, beziehen sich die Indizes $i$ auf jenen Wert, den der Parameter zwischen den Punkten $i$ und $i+1$ hat. Die Lösung der diskreten Gleichung (2.83) wird über eine Newton-Iteration bewerkstelligt.

$$f\left( \vec{v}_k \right) + {\ensuremath{\underline{\mathtt{J... ... = \left( \frac{\partial {f(\vec{v})}}{\partial \vec{v}}\right)$$ (2.82)

Dazu muss in jedem Schritt $k$ das Residuum $-f\left( \vec{v}_k \right)$ und die Jakobi-Matrix ${\ensuremath{\underline{\mathtt{J}}}}_k$ ausgewertet werden. Wenn wir als Randbedingung die Potenzialwerte an den Bereichsgrenzen vorgeben, erhalten wir für die Jakobi-Matrix folgende Bandmatrix.

$${} {\ensuremath{\underline{\mathtt{J}}}}_k\left(\vec{v}\right) = \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & \cdots & & 0 \\ d_1... ..._{N-1} & d_N \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array} \right)$$ (2.83)

$$d_i = \frac{{\ensuremath{\epsilon}}_{i}}{h_i}$$

$$c_i = - d_{i-1} - d_i + \frac{h_{i-1}}{2} \frac{\partial {{\ensuremath{... ...{i}}{2} \frac{\partial {{\ensuremath{\rho}}_{r}}}{\partial {\ensuremath{\phi}}}$$ (2.84)

$${\ensuremath{\rho}}_{l} = -e \left({\ensuremath{n_{cl}}}+{\ensuremath{n_{q}}}-p-N_D^+ + N_A^- \right)_{z = z_i^-}$$

Für die Löcherkonzentration ergibt sich bei Verwendung der Boltzmann-Statistik folgende lokale Ableitung nach dem Potenzial.

$${} {\ensuremath{p}}(z) = N_v \exp \left( \frac{{\ensuremath{E_v}}- e {\ensuremath{\phi}}(z) - {\ensuremath{E_F}}}{k_B T}\right)$$

$$\ \frac{\partial {p}}{\partial {\ensuremath{\phi}}} = \frac{-e}{ k_B T} \quad p(z)$$

Für den klassischen Beitrag zur Elektronenkonzentration ergibt sich bei Verwendung der Fermi-Statistik folgende lokale Ableitung nach dem Potenzial.

$${\ensuremath{n_{cl}}}(z) = N_c {{\cal F}_{1/2}\left( b,\eta \right)}$$

$$\frac{\partial {{\ensuremath{n_{cl}}}}}{\partial {\ensuremath{\phi}}} = \frac{e}{k_B T} \left( N_c {{\cal F}_{-1/2}\left( b,\eta \right)} + \frac{\sqrt{b}}{{\Gamma \left( 3/2 \right)}} \frac{1}{1+\exp(b-\eta)} \right)$$ (2.85)

2.4.4 Ableitung der Elektronendichte

In der Jakobi-Matrix (2.85) wird die Ableitung des quantenmechanischen Beitrags ${\ensuremath{n_{q}}}$ zur Elektronendichte nach dem Potenzial benötigt. Da ${\ensuremath{n_{q}}}$ nach (2.81) aus den Lösungen der Schrödinger-Gleichung berechnet wird, hängt dessen Wert vom gesamten Verlauf des Potenzials ab. In einem ersten Ansatz kann man die erforderliche lokale Ableitung im Rahmen einer selbstkonsistenten Lösung durch Abspeichern der zuletzt berechneten Elektronendichte aus der Differenz zum aktuellen Wert ermitteln. Der in [46] vorgestellte Ansatz liefert eine genauere Abschätzung für die Ableitung der Elektronendichte und soll hier kurz wiedergegeben werden.

Die Elektronendichte läßt sich nach (2.81) als eine Summe über alle Täler und Subbänder anschreiben, in der jeweils das Produkt aus dem Quadrat der einhüllenden Funktionen ${\ensuremath{\zeta}}_n$ und der Besetzungswahrscheinlichkeit, hier durch die Funktion $g$ dargestellt, vorkommt.

$${} {\ensuremath{n_{q}}}({\ensuremath{\phi}}) \propto \sum_n \vert{\ensuremath{\zeta}}_n(z)\vert^2 g({\ensuremath{{E}}}_n)$$ (2.86)

Gesucht wird der Einfluß einer Veränderung des Potenzial ${\ensuremath{\phi}}$ um eine Srtörung $\delta {\ensuremath{\phi}}$. Dieser Änderung im Potenzial entspricht einer Störung des Hamilton-Operators ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{H}}}}}$ um einen Beitrag

$$\delta {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{H}}}}} = -e \delta {\ensuremath{\phi}}$$ (2.87)

Die daraus resultierende Änderung der Elektronendichte $\delta {\ensuremath{n_{q}}}$ wollen wir in Form einer Linearisierung ermitteln. Durch die Störung werden die in (2.88) verwendeten Eigenwerte und die einhüllenden Funktionen verändert.

$${} \delta {\ensuremath{n_{q}}} = \frac{\partial n}{\partial E_n} ... ...uremath{n_{q}}}}{\partial {\ensuremath{\zeta}}_n} \delta {\ensuremath{\zeta}}_n$$ (2.88)

Die beiden Beiträge zur veränderten Elektronendichte werden über die Störungsrechnung ermittelt.

$${} \delta {\ensuremath{{E}}}_n = -{\ensuremath{e}}{\langle {\ensu... ...ert {\ensuremath{\zeta}}_n \rangle}}{{\ensuremath{{E}}}_n-{\ensuremath{{E}}}_j}$$ (2.89)

Setzt man (2.91) in (2.90) ein so erhält man:

$${} \frac{\partial {\ensuremath{n_{q}}}}{\partial {\ensuremath{{E}}}_n} \delta {\ensuremath{{E}}}_n = -e \sum_n \vert{\ensuremath{\zeta}}_n(z)\vert^2 g'({\ensuremath{{... ...\zeta}}_n \vert \delta{\ensuremath{\phi}} \vert {\ensuremath{\zeta}}_n \rangle}$$ (2.90)

$${} \frac{\partial {\ensuremath{n_{q}}}}{\partial {\ensuremath{\zeta}}_n} \delta {\ensuremath{\zeta}}_n = -2 e \sum_n {\ensuremath{\zeta}}_n \sum_{j\ne n} {\ensuremath... ... \rangle}} {{\ensuremath{{E}}}_n-{\ensuremath{{E}}}_j} g({\ensuremath{{E}}}_n).$$ (2.91)

Aus der Ableitung des Quadrats der Wellenfunktion ergibt sich ein Faktor 2 in (2.93). Diesen kann man ausnutzen, um die Summen in (2.93) zweimal anzuschreiben. Vertauscht man im zweiten Term die Indizes $n$ und $j$ so erhält man wegen der Symmetrie der Matrixelemente:

$${} \frac{\partial {\ensuremath{n_{q}}}}{\partial {\ensuremath{\zeta}}_n} \delta {\ensuremath{\zeta}}_n = - e \sum_n {\ensuremath{\zeta}}_n \sum_{j\ne n} {\ensuremath{\... ...left({\ensuremath{{E}}}_j\right) } {{\ensuremath{{E}}}_n-{\ensuremath{{E}}}_j}.$$ (2.92)

Verwendet man für die Differenz der Besetzungswahrscheinlichkeiten die Näherung

$${} \frac{g({\ensuremath{{E}}}_n)-g({\ensuremath{{E}}}_j)}{{\ensuremath{{E}}}_n-{\ensuremath{{E}}}_j} \approx g'({\ensuremath{{E}}}_n)$$ (2.93)

so kommt in beiden Termen der Gleichung (2.91) die Ableitung der Besetzungswahrscheinlichkeit vor. Aus der Vollständigkeitsrelation (2.19) läßt sich $\delta {\ensuremath{\phi}}{\ensuremath{\zeta}}_n$ wie folgt anschreiben.

$${} \delta {\ensuremath{\phi}}{\ensuremath{\zeta}}_n = {\ensuremat... ...zeta}}_j \vert \delta {\ensuremath{\phi}} \vert {\ensuremath{\zeta}}_n \rangle}$$ (2.94)

Wir setzen nun (2.94) und (2.92) in (2.91) ein und berücksichtigen den Zusammenhang (2.96).

$${} \delta {\ensuremath{n_{q}}} \propto \sum_n \vert {\ensuremath{\zeta}}_n \vert ^2 \frac{\partial {g}}{... ..._n {\ensuremath{\zeta}}_n g({\ensuremath{{E}}}_n) \delta {\ensuremath{\zeta}}_n$$

$$= -e \sum_n \left( \vert {\ensuremath{\zeta}}_n \vert ^2 \frac{\par... ...krel{\mbox{N\uml {a}herung}}{\overbrace{\frac{g(E_n)-g(E_j)}{E_n-E_j}}} \right)$$

$$= -e \sum_n \frac{\partial {g}}{\partial E_n} \left( \vert {\ensure... ... \vert \delta {\ensuremath{\phi}} \vert {\ensuremath{\zeta}}_n \rangle} \right)$$

$$= -e \sum_n \vert {\ensuremath{\zeta}}_n \vert ^2 \frac{\partial {g}}{\partial E_n} \delta {\ensuremath{\phi}}$$ (2.95)

Es ergibt sich somit ein lokaler Zusammenhang zwischen der Änderung des Potenzials und der daraus resultierenden Veränderung der Elektronendichte. Die verwendete Näherung (2.95) läßt sich bei starker Quantisierung, und den dann auftretenden großen Energiedifferenzen zwischen den Eigenwerten, nur durch die gute Konvergenz der selbskonsistenten Lösung von Schrödinger- und Poisson-Gleichung rechtfertigen.

Wir wenden nun (2.97) auf die parabolische Elektronenkonzentration (2.80) an.

$${} \frac{\partial {{\ensuremath{n_{q}}}}}{\partial {\ensuremath{\phi}}} = e \sum_n \rho_{2D} \left\vert {\ensuremath{\zeta}}_n\right\vert^2 \frac{\exp(\eta-b)}{1+\exp(\eta-b)}$$ (2.96)

Mit (2.98) sind nun alle Ableitungen bekannt, die bei der Berechnung der Jakobi-Matrix (2.85) benötigt werden.