B.1 Teilchen in skalarem Potentialfeld

Für den Fall eines Teilchens der Masse m in einem skalaren endlichen Potential $V(\vec{r})$ lautet (B.1)

$$H\,\psi (\vec{r})\equiv \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \,\triangle + V(\vec{r}) \right] \,\psi (\vec{r})=E\,\psi (\vec{r})$$ (B.4)

Um eine physikalische Interpretation der Funktion $\psi$ zu ermöglichen, muß $\psi (\vec{r})$ und ihre Ableitungen erster Ordnung im ganzen Raum stetig, eindeutig und beschränkt sein.

Man kann dann folgende Aussagen beweisen [Mes90a]:

• Ist E<0, so hat (B.4) ein diskretes Lösungsspektrum. Die dazugehörige Eigenfunktion $\psi (\vec{r})$ verschwindet im Unendlichen. Das Integral
  

$$\int {\left\vert \psi (\vec{r})\right\vert}^2 \,{\mathrm{} d}\vec{r}$$ (B.5)




konvergiert über den gesamten Konfigurationsraum. Entsprechend der statistischen Deutung ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Unendlichen zu finden, gleich Null. Das Teilchen hält sich daher in einem endlichen Bereich auf. Man sagt, daß Teilchen befindet sich in einem gebundenen Zustand.

• Ist E>0, so kann (B.4) für jeden positiven Wert von E gelöst werden. Man sagt, die positiven Energien bilden ein kontinuierliches Spektrum. Doch verschwinden nun die dazugehörigen Eigenfunktionen $\psi (\vec{r})$ im Unendlichen nicht mehr; ihr asymptotisches Verhalten entspricht einer ebenen Welle ${\mathrm{} e}^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}$ . Das Integral (B.5) verschwindet nicht im Unendlichen; das Teilchen bleibt nicht in einem endlichen Bereich lokalisiert. Mit Eigenfunktionen dieser Art beschreibt man Streuprobleme. Solche Zustände nennt man ungebunden oder stationäre Streuzustände.

In einem zentralen Potentialfeld wirkt die Kraft nur radial, sodaß der dazugehörige Hamilton-Operator

$$H=\frac{\vec{p}^2}{2m} +V(r)$$ (B.6)

radialsymmetrisch wird. Verwendet man Kugelkoordinaten, so reduziert sich die Lösung der Schrödinger-Gleichung

$$H\psi(\vec{r}) \equiv \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \triangle +V(r)\right]\psi (\vec{r}) =E\,\psi (\vec{r})$$ (B.7)

durch den Ansatz $\psi (r,\theta,\phi) = Y_{l}^{m}(\theta,\phi) \,r^{-1}y_{l}(r)$auf die Lösung einer nur vom Abstand r des Teilchens zum Kraftzentrum abhängigen Differentialgleichung.

$$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{{\mathrm{} d}^2}{{\mathrm{} ... ... l+1 \right) \frac{\hbar^2}{2mr^2} +V(r)-E \right] y_{l}(r)=0$$ (B.8)

mit der Randbedingung

y_l(0)=0 (B.9)

wobei l die Bahndrehimpulsquantenzahl bezeichnet. Diese Radialgleichung entspricht der Schrödinger-Gleichung eines eindimensionalen Teilchens der Masse m, das im Bereich $(0,\infty)$ dem Zentrifugalpotential

$$V_{l}=\frac{\hbar^2}{2mr^2}l \left( l+1 \right)$$ (B.10)

und im Bereich $(-\infty,0)$ einem unendlich großen, abstoßenden Potential unterworfen ist. Das dreidimensionale Problem wird also auf eine eindimensionale Schrödinger-Gleichung reduziert, welche stets numerisch integrierbar ist.