2.3.2 Paarbildung

 

Die Bildung und Auflösung von Paaren ist essentieller Bestandteil der Diffusionstheorie. Eine Umverteilung der unbeweglichen substitutionellen Fremdatome erfolgt durch die Wechselwirkung mit intrinsischen Punktdefekten. Wenn sich ein Fremdatom und ein intrinsischer Defekt nahe genug kommen, bilden diese aufgrund der energetischen Begünstigung ein Paar. Dieses Paar löst sich zwar schnell wieder auf, doch durch die nach wie vor kurzen Abstände ist die Wahrscheinlichkeit für eine erneute Paarbildung relativ hoch. Die dabei ständig stattfindenden Platzwechselvorgänge führen zu einer relativ hohen Beweglichkeit eines derartigen Paares. Durch die lose Bindung aneinander bewegen sich die beiden Atome eine mittlere Weglänge gemeinsam, bevor es zur endgültigen Auflösung des Paares kommt.

Die Diffusionsgleichung, sowohl für die Paare als auch der beteiligten Defekte, ist daher um die Nettogenerationsrate

$$G_n = \kappa (C_AC_B - C_{\mathrm eq}C_{AB})$$ (2.8)

zu erweitern. Die beiden Teilchenarten A und B reagieren zu einem Paar AB mit dem Reaktionskoeffizienten $\kappa$. $C_{\mathrm eq}$ entspricht dabei einer Gleichgewichtskonstante, die im wesentlichen die Auflösungswahrscheinlichkeit beschreibt und den Effekt der Bindungsenergie G_b beinhaltet.

Betrachtet man binäre Reaktionen (n_A=n_B=n_C=1 in Gl. 2.6), läßt sich der Reaktionskoeffizient eines reaktionslimitierten Prozesses durch

$$\kappa_r = 4\pi r^2 k_s$$ (2.9)

angeben. Dabei ist $\kappa_r$ proportional der Oberfläche der Kugel mit dem Wirkungsradius r und der Oberflächenreaktionsgeschwindigkeit k_s. Diese läßt sich mittels der Sprungfrequenz $\nu$ und der Sprungweite $\delta$ zu

$$k_s=\nu\delta\exp\left(-\frac{G_f-G_b}{kT}\right) = 4\frac{D_A+D_B}{\delta}\exp\left(-\frac{G_f-G_b}{kT}\right)$$ (2.10)

darstellen, wobei die Sprungfrequenz $\nu=4(D_A+D_B) / \delta^2$ aus den Diffusionskoeffizienten ermittelt werden kann.

Der Reaktionskoeffizient eines rein diffusionslimitierten Prozesses hingegen ergibt sich zu

$$\kappa_d = 4\pi r (D_A + D_B),$$ (2.11)

worin die Summe der Diffusionskoeffizienten der beteiligten Partikelarten mit der Oberfläche der Kugel mit dem Wirkungsradius gewichtet ist.

Im allgemeinen ist jede Reaktion zumindest teilweise diffusions- und reaktionslimitiert. Beide Mechanismen sind im wesentlichen durch die Sprungfrequenz der beteiligten Teilchen bestimmt. Da die räumliche Auflösung der benachbarten Einzelteilchen durch Diffusion erst nach der Auflösung des Paares möglich ist, handelt es sich hierbei um eine Art ``Serienschaltung'' der beiden Effekte. Der tatsächliche Reaktionskoeffizient liegt also zwischen den beiden Grenzen, welcher sich nach [Hob97] gemäß

$$\kappa = \frac{1}{\displaystyle\frac{1}{\kappa_r}+\frac{1}{\... ... \frac{4\pi r}{\displaystyle\frac{1}{rk_s}+\frac{1}{D_A+D_B}}$$ (2.12)

angeben läßt.