5.1.1 Klassifizierung der Adaptierungsalgorithmen

Wie bereits in der Einleitung erwähnt, sind durch die Wahl guter Rechengitter enorme Effizienzsteigerungen bei der numerischen Lösung zu erreichen. In der Literatur werden die Methoden zur Gitteranpassung grob in die Klassen h-Adaptierung, p-Adaptierung und r-Adaptierung eingeteilt:

• Unter h-Adaptierung versteht man die klassische Methode der Gitteranpassung, bei der durch lokales Einfügen und Entfernen von Knoten die Gitterdichte variiert wird. Die Methode verändert also die charakteristische Größe h der Elemente.

• Die p-Adaptierung, auch spektrale Adaptierung genannt, erreicht die Anpassung an die exakte Lösung durch variable Wahl der Klasse der Ansatzfunktionen. Je nach Größe der lokalen Diskretisierungsfehler werden polynomiale Ansatzfunktionen höheren oder niedrigeren Grades p verwendet. In der Regel kommen hierarchische Ansatzfunktionen zur Anwendung, welche die lokale Adaptierung erleichtern, da jede weitere Ansatzfunktion als Korrektur der bereits verwendeten verstanden werden kann. Die Verwendung problemangepaßter Formfunktionen kann in diesem Zusammenhang als Subklasse der p-Adaptierung verstanden werden.

• Bei der r-Adaptierung wird die Gitterdichte durch örtliche Verschiebung der Knoten bewerkstelligt, sodaß es zu einer möglichst guten Gleichverteilung des Diskretisierungsfehlers kommt. Es können damit zwar optimale Gitter im Sinne einer optimalen Wahl der Punktpositionen produziert werden [Jim96], jedoch ist ihre globale Stabilität im allgemeinen nicht gesichert. Weiters kann es dabei zur Entstehung degenerierter Elemente mit verschwindendem Volumen kommen, die algorithmisch aus dem Gitter entfernt werden müssen.

In verschiedene Implementierungen werden auch Kombinationen aus h- und p-Adaptierung [Bab81] oder aus h- und r-Adaptierung [Ban97] verwendet, diese beschränken sich jedoch auf statische Probleme.

Die in der vorliegenden Arbeit zu lösenden Probleme sind jedoch zeitlich veränderlich, sodaß oftmalige Verfeinerung und Vergröberung des Gitters notwendig ist, um immer gut angepaßte Gitter zu haben. Aus diesem Grund wurde das Verfahren der h-Adaptierung ausgewählt. Zusätzlich wurden Methoden zur Verschiebung der Knotenpunkte vorgesehen um eine Kombination von h- und r-Adaptierung zu ermöglichen.