6.1.1 Fehlerklassifizierung

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6.1.1 Fehlerklassifizierung

Prinzipiell können die Approximierungsfehler auf zweierlei Arten gesehen werden:

als Fehler des Funktionsverlaufes oder globale Fehler und
als Diskretisierungsfehler der Differentialgleichung oder lokale Fehler.

Als globalen Fehler e des Funktionsverlaufes versteht man die Differenz zwischen dem exakten Verlauf u und der Näherungslösung ${\hat{u}}$ :

$\begin{displaymath} e = u - {\hat{u}}. \end{displaymath}$

(6.1)

Als lokalen Fehler oder Restglied $\tau$ versteht man den Defekt des diskreten Differentialoperators $\mathbf {L}$ :

$\begin{displaymath} \tau = \mathbf {L}(u). \end{displaymath}$

(6.2)

Klarerweise sind zur exakten Bestimmung des globalen Fehlers sowohl eine explizit bekannte Lösung u als auch die Näherungslösung ${\hat{u}}$ nötig. Im allgemeinen ist man jedoch auch mit einer näherungsweisen Fehlerabschätzung gut bedient, welche mittels zweier Lösungen unterschiedlicher Genauigkeit und Kenntnis der Konvergenzordnung ermittelt werden kann. Der lokale Fehler hingegen läßt sich analytisch durch höhere Ableitungen von u approximieren.

Beide Fehlerarten sind für die automatische Gitteradaptierung von großem Interesse. Der globale Fehler besteht im wesentlichen aus der Summe der Auswirkungen der lokalen Fehler. Mit einer abgebrochenen Taylor-Entwicklung des diskreten Differentialoperators an der Stelle ${\hat{u}}$ gilt

$\begin{displaymath} \tau = \mathbf {L}(e + {\hat{u}}) \simeq \mathbf {L}({\hat{u... ...e = {\frac{\partial{\mathbf {L}}}{\partial{{\hat{u}}}}}\cdot e \end{displaymath}$

(6.3)

unter der Voraussetzung einer auskonvergierten Näherungslösung ${\hat{u}}$ ist $\mathbf {L}({\hat{u}})=0$ , wobei $\partial\mathbf {L}/\partial{\hat{u}}$ der Jacobi-Matrix des diskreten Systems entspricht. Die Kontrolle der lokalen Fehler stellt also ein geeignetes Mittel zur Begrenzung des globalen Fehlers dar, solange $\partial\mathbf {L}/\partial{\hat{u}}$ regulär ist. Somit kann man davon ausgehen, daß anhand des lokalen Fehlers die Gitterdichte wirkungsvoll gesteuert werden kann. Andererseits ist die quantitative Kenntnis des globalen Fehlers zur Beurteilung der gesamten Genauigkeit der Näherungslösung von Bedeutung und zur Bestimmung des Zulässigkeitsbereiches für den lokalen Fehler notwendig.

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Ernst Leitner
1997-12-30