Zusammenfassung

Die Erzeugung von volumetrischen Gittern spielt eine wichtige Rolle in diskretisierungs-basierten rechnergestützten Entwicklungsprozessen. In diesem Zusammenhang relevante Objekte besitzen oft Symmetrien oder bestehen aus gleichartigen Bausteinen, welche jedoch von Algorithmen zur Erzeugung oder Adaptierung von volumetrischen Gittern bisher nicht berücksichtigt werden, was zu ungenutztem Speicher- und Laufzeitoptimierungspotential führt. Beispielsweise kann bei einem regulären $16$-Eck anstelle des Gitters des Gesamtobjekts nur das Gitter eines Tortenecks generiert und gespeichert werden. In diesem Fall ist eine Ersparnis an Speicherbegarf und Laufzeit von einen Faktor $16$ zu erwarten, auch wenn die benötigte Zusatzinformation, in diesem Fall die $16$-malige Kopie und Rotation des Tortenecks, einen zusätzlichen Aufwand bedeutet.

In dieser Arbeit wird untersucht, ob und wie Symmetrien und Ähnlichkeiten bei Erzeugung, Verwendung, und Speicherung von volumetrischen Gittern vorteilhaft genutzt werden können. Im Speziellen werden Auswirkungen und Optimierungen auf den Speicherverbrauch, die Algorithmenlaufzeit, und die Gitterelementqualität analysiert. Zu diesem Zweck wird eine Theorie entwickelt, welche sich mit potentiell mehrfacher Instanzierung von sogenannten Vorlagenstrukturen anhand von geometrischer Transformationen beschäftigt. Die vorgestellte Theorie benutzt einen abstrakten Ansatz, um sowohl Symmetrien als auch andere Ähnlichkeiten zu unterstützen. Zusätzlich werden Mechanismen vorgestellt, welche die Kohärenz der Schnittstellen von verschiedenen Vergitterungsinstanzen sicherstellen.

Basierend auf diesen theoretischen Ansätzen werden Datenstrukturen und Algorithmen zum Erzeugen und Adaptieren von Gittern entwickelt. Konkret werden zwei Algorithmen zum Erzeugung von Vorlagengittern vorgestellt und untersucht, welche auch für Spiegelungs- und Rotationssymmetrien sowie deren Kombinationen spezialisiert werden. Zusätzlich wird eine Auswahl von populären Gitteradaptierungsalgorithmen auf deren Benutzbarkeit mit Vorlagenstrukturen untersucht.

Die Vorteile der vorgestellten Datenstrukturen und Algorithmen werden in einer Leistungsvergleichstudie untersucht und diskutiert. Für alle zwei-dimensionalen und für die meisten drei-dimensionalen Objekte sind die Verbesserungen beim Speicherverbrauch und in der Algorithmenlaufzeit von der Erzeugung von Vorlagengittern mindestens so hoch wie erwartet. Für drei-dimensionale Objekte mit hoher Rotationssymmetrieordnung sind die Verbesserungen geringer, allerdings mindestens ein Faktor $15$. Wenn der Speicherverbrauch der Systemmatrix einer Finite-Elemente-Methode berücksichtigt wird, sinken die Verbesserungen im Speicherverbrauch allerdings sigifikant. Um diese Verluste zu kompensieren, wird eine Datenstruktur für die Systemmatrix entwickelt, welche auf den Konzepten der Vorlagengitter basiert. Die Qualität der Gitterelemente von Vorlagengittern ist in den meisten Fällen mindestens so gut wie die von konventionell erzeugten Gittern und minimal schlechter sonst.

Zusätzlich werden die Effekte von symmetrischen und nicht symmetrischen Gittern auf Simulationen basierend auf der Finite-Elemente-Methode untersucht. Wenn das Simulationsgebiet symmetrisch ist, dann ist die mathematische Lösung des Simulationsproblems, bei dem die Randbedingungen des Initialproblem mit der Symmetrietransformation transformiert werden, gleich der transformierten Lösung des Initalproblems. Eine Analyse zeigt allerdings, dass ein symmetrisches Gitter benötigt wird damit, die vorige Aussage auch für die nummerischen Lösungen einer Finite-Elemente-Methode zutrifft.