Zur Beschreibung der Volumsmodelle für die Bauelementsimulation werden zumeist die nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung bestehend aus der Poisson-Gleichung, der beiden Transportgleichungen für die Ladungsträger und der beiden Energietransportgleichungen verwendet.
Die vier Transportgleichungen können durch Modellbildung aus der quantentheoretischen Beschreibung durch die Schrödinger-Gleichung für das gesamte Elektronensystem hergeleitet werden. Werden nur die beiden Kontinuitätsgleichungen für Elektronen und Löcher berücksichtigt, ist das Ergebnis identisch mit der klassischen Drift-Diffusionsnäherung. Nachdem Quanteneffekte bei der Beschreibung der Grenzflächenmodelle berücksichtigt werden müssen, wird die der Modellbildung zugrunde liegende hierarchische Struktur der Transportmodelle erläutert.
Der Transport der Ladungsträger in Kristallstrukturen wird in der Quantentheorie durch die Schrödinger-Gleichung für nur ein Teilchen beschrieben. Der Einfluß der Kristallstruktur und der restlichen Teilchen wird in einem pauschalen gitterperiodischen Potential zusammengefaßt [18].
Abbildung 4.1: Hierarchie der Transportmodelle.
Für den Stromtransport im Halbleiter erweist sich eine zur
Schrödinger-Gleichung gleichwertige Darstellung in Form der
Wigner-Gleichung als anschaulicher. Die Wigner-Gleichung kann durch
Anwendung der Weyl-Transformation auf die Schrödinger-Gleichung
erhalten werden [6] (s. Abb. 4.1). Durch
Anwendung der Weyl-Transformation auf die Wellenfunktion 
der
Schrödinger-Gleichung wird die Verteilungsfunktion
definiert, welche als die Wigner-Funktion bezeichnet
wird [37]. Sie ist im Phasenraum 
definiert und equivalent zur Wellenfunktion 
. Wird die
Weyl-Transformation auf die Schrödinger-Gleichung angewandt, ergibt
sich die Wigner-Gleichung
Die Funktion 
beschreibt die
Wechselwirkung der Ladungsträger mit dem Potential 
,
Sind die Quanteneffekte vernachlässigbar und nimmt man weiters an, daß
Die Indizes 
bezeichnen die Verteilungsfunktionen für
Elektronen und Löcher.
Der Aufwand für die numerische Lösung der Boltzmann-Gleichung ist
beträchtlich. Bleibt die zeitliche Abhängigkeit unberücksichtigt,
ist 
eine skalare Funktion von 3+3
unabhängigen Veränderlichen. Wird jedes Parameterintervall mit
100 Punkten diskretisiert, erhält man 
zu berechnende
Unbekannte.
Die Störungsrechnung zur Berechnung der Näherungslösungen der Boltzmanngleichung geht von der Annahme aus, daß sich das System der Ladungsträger im thermodynamischen Gleichgewicht befindet und nur einer schwachen Störung ausgesetzt ist. Man erhält damit die Näherungslösungen für die Verteilungsfunktionen [22]
Diese Verteilungsfunktionen können auch als Ergebnis der
Reihenentwicklung des unsymmetrischen Anteils einer verschobenen
Maxwell-Verteilung bis zur dritten Ordnung von 
erhalten
werden.
Zur Herleitung der Transportgleichungen werden nun die ersten zwei Momente der Boltzmanngleichung für das Drift-Diffusionsmodell und die ersten vier Momente für das hydrodynamische Modell berechnet.
Die ersten vier Momente der Verteilungsfunktion sind definiert als:
