Monte Carlo Methoden werden sehr häufig zur Untersuchung komplexer stochastischer
Systeme herangezogen. Dabei werden Vorgänge, die durch viele
Zufallsvariablen mit bekannten Verteilungen beschrieben werden können (z.B.\
die Bahn eines Ions durch einen Festkörper), simuliert, um die Verteilung
von bestimmten Zufallsvariablen (z.B. die Endpunkte dieser Ionenbahnen) zu
erhalten. In jedem Simulationslauf verwendet man Realisierungen der
Zufallsvariablen mit bekannten Verteilungen (Zufallszahlen) (z.B.\
normalverteilt mit Mittelwert 
und Standardabweichung 
),
um daraus die Realisierung einer gesuchten Zufallsvariable (z.B.\
Eintrittspunkt des Ions in den Kristall, Schwingungsamplitude eines
Festkörperatoms, usw.) mit unbekannter Verteilung zu erhalten. Bei einer
großen Anzahl von Wiederholungen solcher Simulationsläufe (z.B.\
Bahnberechnugen von mehreren tausend Ionen) liefert die erhaltene empirische
Verteilungsfunktion nach dem Satz von Glivenko-Cantelli (Zentralsatz der
Statistik) eine Näherung für die gesuchte Verteilung (z.B. das
Dotierstoffprofil) [Aff91].
Die Monte Carlo Simulation der Ionenimplantation\ [Rob63, Des72, Rob74, Des76, Bie80, Ade82, Rob83, Maz84, Maz85, Zie85, Hob89, Sti93a, Boh95a, Sim95a] kommt durch diese Strategie den realen, physikalischen Gegebenheiten am nächsten, wenngleich auch hier grobere Vereinfachungen getroffen werden müssen (z.B. können unmöglich alle Wechselwirkungen zwischen den Ionen und den ,,Target``-Atomen berücksichtigt werden). In diesem konkreten Fall werden immer die dreidimensionalen Bewegungsbahnen der Ionen (Trajektorien) durch das Simulationsgebiet ermittelt.
Dieses Gebiet besteht i.a. aus verschiedenen Bereichen, denen unterschiedliche Materialeigenschaften (atomare Dichte, Kristallstruktur, usw.) zugeordnet sind. Ein wichtiger Punkt ist daher die Bestimmung des Aufenthaltsortes des Ions (,,Point location``), d.h. in welcher Region sich das Teilchen momentan befindet. Der Aufwand für die dazu nötigen geometrischen Operationen steigt mit der Dimensionalität der Simulationsstruktur [Sti93a].
Schlußendlich werden die Ionen entsprechend ihren Trajektorienendpunkten in
ein Histogramm
eingetragen, aus
dem dann das Dotierungsprofil berechnet wird.
Ausgehend von einem konkreten Anwendungsbeispiel muß die Anzahl der
Teilchentrajektorien so gewählt werden, daß die statistischen Schwankungen
der Verteilung für die relevanten Konzentrationsbereiche (z.B. drei
Größenordnungen) hinreichend klein sind. Nachteilig wirkt sich dabei aus, daß diese nur mit der Wurzel
aus der Zahl der simulierten Trajektorien fallen, wohingegen die benötigte
CPU Zeit linear steigt; anders ausgedrückt nimmt die Rechenzeit um einen
Faktor vier zu, wenn das statistische Rauschen halbiert wird. Aus diesem
Grunde stellen Monte Carlo Simulatoren weitaus höhere Anforderungen an die
Rechenleistung eines Computers als vergleichbare analytische Methoden.
Wird die zugrundeliegende Siliziumstruktur prinzipiell als amorph angesehen, so sind die einzelnen Ionenbahnen statistisch voneinander unabhängig. Superpositionsmethoden können daher angewandt werden, durch die sich der Rechenaufwand typischerweise um einen Faktor zehn reduzieren läßt [Hob88a, Kle90]. In kristallinen Siliziumstrukturen wird jedoch die Bahn eines Teilchens von bereits simulierten Trajektorien beeinflußt. Bei der Entwicklung von Modellen für solche Materialien [Lin63, Rob74, Hob89, Hob91b, vS89, Kle92] müssen aus diesem Grund andere Wege eingeschlagen werden [Yan94, Boh95a, Boh95b, Boh95d, Boh95e, Hob95b]. Im Rahmen dieser Arbeit wird gezeigt, daß auch in diesem Fall eine Reduktion der Rechenzeit um einen Faktor zwei bis sieben möglich ist, wenn man für die Berechnung der Trajektorien einen neuen Algorithmus verwendet.
Durch die immer kleineren Strukturgrößen bei MOS Transistoren kommen
,,Short channel`` Effekte zum Tragen, vgl. [Wol95]. Diese
Phänomene verursachen eine Verschlechterung der elektrischen Eigenschaften,
wenn die Abmessungen des Bauelementes isotrop und linear verkleinert werden
(,,Down scaling``). Durch die Verwendung von z.B. ,,Source``- und
,,Drain``-Dotierungen mit sehr geringen Eindringtiefen (,,Shallow
junctions``) werden diese Effekte minimiert. Das
bedeutet allerdings auch, daß bei der Ionenimplantation zusehends geringere
Implantationsenergien verwendet werden müssen.
Bei Energien unter 1keV treten jedoch prinzipielle Problem für die Monte Carlo\ Strategie auf. Molekulardynamische Untersuchungen [Har83, Har86, Jak86] zeigen nämlich, daß sich in solchen Fällen die Modellierung der energetischen Wechselwirkungen zwischen den Ionen und den Siliziumatomen grundlegend ändert. Normalerweise finden die Berechnungen in einem Zweikörpersystem statt, d.h., zu einem bestimmten Berechnungszeitpunkt wird nur genau ein Ion und genau ein Atom berücksichtigt. Diese Vereinfachung ist nun nicht mehr zulässig und neue Lösungsansätze sind nötig.