5.6.1 Tellegen's Theorem für Graphen

Gegeben seien zwei isomorphe gerichtete Graphen X=(V,E) und Y=(V,E) mit der Knotenmenge V und der Kantenmenge E:

Jeder Kante des Graphen X sei nun ein Fluß zugeordnet, so daß gilt:

Ein derartiger Graph wird ein konservatives Transportnetz ([44]) genannt. Ein , das obige Bedingung erfüllt, wird als Strom bezeichnet.

Jedem Knoten des Graphen Y sei ein Potential zugeordnet. Aus den Potentialen der Knoten des Graphen leiten sich folgende Spannungen für die Kanten ab.

Die Inzidenzmatrix   des Graphen ist eine Matrix ( ist die Anzahl der Knoten, die Anzahl der Kanten), wo die definiert sind durch:

Da die Graphen X und Y isomorph sind, gilt wenn die Knoten und Kanten der beiden Graphen gleich numeriert sind.

Für den Graphen X und dessen Flüsse gilt nun wegen (5.29) und (5.31):

Für den Graphen Y und dessen Potentiale und Spannungen gilt wegen (5.30) und (5.31):

Es läßt sich Tellegen's Theorem wie folgt ableiten:

Das allgemeine Tellegen Theorem lautet deshalb:

Für zwei isomorphe gerichtete Graphen X und Y, wobei jeder Kante des Graphen X ein konservativer Fluß und jeder Kante des Graphen Y eine Spannung , definiert als Differenz der Potentiale der Knoten der Kanten, zugeordnet ist, gilt:

Die Summe der Produkte der Spannungen des Graphen Y und der Flüsse des Graphen X aller Kanten ist 0.