5.1 Kopplung zweier Monte-Carlo-Simulatoren

Gate-Ströme werden mit zwei aufeinanderfolgenden Monte-Carlo-Rechnungen für Silizium und Siliziumdioxid berechnet. Da Monte-Carlo-Rechnungen sehr zeitaufwendig sind und nur zur Bestimmung des Hochenergieanteils der Ladungsträger benötigt werden, wird eine Anfangslösung mit einem Drift-Diffusionsmodell (MINIMOS 6.0 [158]) ermittelt. Danach werden mit dem Monte-Carlo-Simulator BEBOP 3.2 [47][51] diejenigen Elektronen extrahiert, die an der Grenzfläche zu Siliziumdioxid emittiert worden sind. Von diesen Elektronen ausgehend wird mit einem Monte-Carlo-Programm für Siliziumdioxid derjenige Anteil an Elektronen bei stationären Betrieb des Transistors bestimmt, dessen Trajektorien in der Gate-Elektrode enden. Der Ablauf dieses Simulationsflusses ist in Abbildung 5.1 festgehalten.

Zur Berechnung desjenigen Anteils des Gate-Stromes, dessen Beiträge sich aus direktem Tunneln nach der Approximation von Fowler und Nordheim (Gleichung 4.1) oder der Transmissionsrate von Gleichung 4.25 gemäß dem Potentialprofil nach Abbildung 4.1(a) zusammensetzen, werden alle Elektronen, die die Grenzfläche erreichen, berücksichtigt und danach reflektiert. Der Gate-Strom wird nun so ermittelt, daß die Ladung der Elektronen gewichtet ist, dabei aber zusätzlich noch mit der Transmissionsrate multipliziert wird,

wobei die Simulationszeit darstellt, die im allgemeinen bei stationären Berechnungen sehr groß sein muß. Das Gewicht des einzelnen Elektrons wird mit bezeichnet.

Zur Bestimmung, ob ein Elektron in Siliziumdioxid emittiert wird, muß zuerst die Transmissionswahrscheinlichkeit der Normalkomponente des Impulses und näherungsweise die mit dem Verhältnis von Normalimpuls und Betrag des Wellenvektors extrahierte Energie normal zur Grenzfläche ermittelt werden. Danach wird die Transmissionsrate mit einer Zufallszahl verglichen. Der Beitrag des -ten Elektrons, das an der Grenzfläche angetroffen wird, ist nun

Ist die Transmissionswahrscheinlichkeit, wie sie aus Abbildung 4.1(b) und Gleichung 4.28 gegeben ist, größer als die Zufallszahl, dann wird das Elektron als injiziert betrachtet und von der Simulation des Substrats entfernt; andernfalls wird das Teilchen reflektiert. In der anschließenden Monte-Carlo-Rechnung im Siliziumdioxid wird nun einerseits der Beitrag der Elektronen, die direkt in die Gate-Elektrode injiziert werden, als auch derjenige Bruchteil ermittelt, deren Trajektorien am Übergang zum Kanal enden, bestimmt. Damit ergibt sich dann der Anteil derjenigen Ladung, die wiederum vom Oxid ins Substrat zurückgestreut wird, als auch der Anteil, der in die Gate-Elektrode injiziert worden ist.

Bei der Injektion von Elektronen vom Kanal in Siliziumdioxid wird der Injektionsvorgang als augenblicklich angesehen und elastisches Tunneln wird angenommen. Damit muß die Energieerhaltung erfüllt sein. Im Gegensatz dazu ist es weder bei anisotropen Vollbandmodellen noch bei approximativen, isotropen Mehrbandmodellen möglich, auch den Kristallimpuls zu konservieren [112][152]. Zusätzlich ergeben sich mit einer semiklassischen Näherung, die alle erlaubten Zustände zuläßt, keine Beschränkungen in bezug auf den Elektronenzustand im injizierten Material. Daher wird zur Bestimmung des Zustands der Elektronen im Oxid wie folgt vorgegangen.

• Sind sowohl die Energie als auch deren Normalkomponente im Kanalbereich größer als die Potentialbarriere , dann wird die Energie im Oxid um vermindert. Der neue Wellenvektor wird gemäß der Energie-Impulsrelation in SiO berechnet. Zur Bestimmung der Komponenten des Wellenvektors im Oxid werden dann der polare und azimutale Winkel im Substrat herangezogen. Das Elektron beginnt den freien Flug im Oxid direkt an der Grenzfläche.

• Falls nun nur die Gesamtenergie größer als die Potentialbarriere ist, die Normalkomponente der Energie jedoch kleiner als , dann wird die Gesamtenergie um den Betrag der Potentialbarriere erniedrigt, wobei das Elektron aber wiederum Energie vom elektrischen Feld aufnimmt,

  

  Der Impuls normal zur Grenzfläche wird Null gesetzt. Die beiden parallelen Komponenten des Wellenvektors werden gemäß des Verhältnisses im Kanalbereich bestimmt. Das Elektron beginnt den freien Flug nun am Schnittpunkt der Normalenergie mit dem abfallenden elektrischen Potential des Oxids. Wenn aufgrund eines kleinen Potentials kein Schnittpunkt möglich ist, dann tunnelt das Elektron direkt in die Gate-Elektrode.

• Sind nun sowohl die Normalkomponente der Energie als auch die Gesamtenergie kleiner als die Potentialbarriere, das Teilchen jedoch aufgrund des quantenmechanischen Wahrscheinlichkeit injiziert, dann ist die Energie in SiO gleich Null, und das Elektron beginnt seine Trajektorie in . Wenn kein Schnittpunkt vorhanden ist, dann tunnelt das Elektron auch in diesem Fall direkt in die Gate-Elektrode.

Die Transmissionsraten sind für die Berechnung eines -Transistors derart erweitert, daß die Feldabhängigkeit an der Grenzfläche berücksichtigt wird. Elektronen haben nur dann eine endliche Transmissionswahrscheinlichkeit, wenn die Normalkomponente des elektrische Feldes größer Null ist, andernfalls werden Elektronen am Übergang von Silizium zu Siliziumdioxid reflektiert und setzen ihre Trajektorien im Substrat fort. In Siliziumdioxid wird angenommen, daß die Begrenzungen an der Source- und Drain-Seite ideal reflektierend seien, der Gate-Kontakt als auch die Grenzfläche von Si/SiO stellen ideal absorbierende Randbedingungen dar. Das bedeutet, daß ein Teilchen auf dieses zweidimensionale Simulationsgebiet eingeschränkt ist.