2.5.1 Erste Born-Näherung

Wenn man (2.24) in (2.26) einsetzt und Korrelationen zwischen den Störstellen vernachläßigt, erhält man für die Born-Streuamplitude erster Ordnung einer Ladungsverteilung (2.33)

$$\begin{eqnarray}f(q)^{\mathrm{B1}}&=& \frac{U_{0}}{q^2 + \beta^2G(\xi,\eta)} \le... ...mathrm{sc}}^2 }{q^2 + \alpha_{\mathrm{sc}}^2 }\right)\right] \; .\end{eqnarray}$$ (2.37)

Das Streupotential im Ortsbereich lautet (Abb.2.2 und Abb. 2.3)

$$\begin{eqnarray}V(r)&=&\frac{\left( Q_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{imp}} (r) - Q_{\ma... ...{-\left ( \alpha_{\mathrm{sc}} - \beta\right ) \, r} \right] \; .\end{eqnarray}$$ (2.38)

Der Einfachheit halber haben wir in (2.38) die q-abhängige Abschirmung vernachlässigt. $Q_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{imp}}$ und $Q_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{sc}}$ stellen die orts- und konzentrationsabhängige effektive Ladung von Störstelle und Halbleiteratom dar.

Der effektive Wirkungsquerschnitt erster Ordnung in der Born-Näherung lautet daher

$$\begin{eqnarray}\sigma_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{B1}}(k)&=&\frac{\pi \,U_{0}^2 }{2... ..._{i}^2}{{\left(1-\frac{\beta^2}{\alpha_{i}^2}\right)}^2}\nonumber\end{eqnarray}$$ (2.39)

 

 

 

 

Bei der Herleitung von (2.35) wurde die Dielektrizitätskonstante $\epsilon_{\mathrm{sc}}$ des Halbleiters, die als räumlich konstant angenommen wurde, verwendet [BK82,Sca96]. $\epsilon$ ist eine makroskopische Größe, die ein Maß für die Polarisation eines Materials bei Anwesenheit eines elektrischen Feldes ist. Sobald man auf eine mikroskopischer Ebene übergeht, also lokalisierte Elektronen beschreiben will, ist die makroskopische Behandlung nicht mehr möglich. Aus diesem Grunde sollte man die wellenzahl-abhängige dielektrische Funktion benutzen. Da $\epsilon_{\mathrm{sc}}$ um eine Größenordnung größer ist als $\epsilon_{vac}$ und $\alpha$ direkt davon abhängt, ist die richtige Wahl von $\epsilon$ kritisch für die räumliche Ausdehnung der Ladungsverteilung der Störstelle. Die Dielektrizitätskonstante ist ein Maß für die Polarisation in einem Festkörper. Isolatoren sind praktisch nicht polarisierbar, während Metalle sehr gut polarisierbar sind. Halbleiter nehmen eine Sonderstellung ein, da deren Eigenschaften stark von der Dotierung abhängen. Mit steigender Dotierung nimmt das verbotene Band ab, sodaß die Dielektrizitätskonstante eine Funktion der Dotierung wird. Messungen bei Temperaturen nahe 0 K haben gezeigt, daß $\epsilon$ Werte von 700 erreicht bei Konzentrationen nahe der kritischen Dotierung [HD82]. Die kritische Dotierung kennzeichnet den Metall-Isolator-Übergang (Mott-Übergang). Außerdem hängt $\epsilon$ vom Dopanden ab, weil die Aktivierungsenergie für verschiedene Dopanden unterschiedlich ist und schwächer gebundene Donatoren stärker polarisierbar sind als stärker gebundene. Das wiederum bedeutet eigentlich, daß der Bohr-Radius für verschiedene Dopanden unterschiedlich groß ist. Es gibt derzeit keinerlei physikalische Erklärung für die großen $\epsilon$-Werte, noch konnte ich ähnliche Messungen bei Raumtemperatur ausfindig machen. Bei all diesen Unsicherheiten bezüglich der richtigen Dielektrizitätskonstanten und seine komplexe Abhängigkeit von Frequenz und Dotierung halte ich eine übertriebene Genauigkeit bei unseren Überlegungen für nicht angebracht, sodaß alle Simulationen mit dem herkömmlichen $\epsilon_{\mathrm{sc}}$ des jeweiligen Halbleiters durchgeführt wurden.