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Monte-Carlo-Methode Up: 2.5
Thomas-Fermi Atom Modell Previous: 2.5.1
Erste Born-Näherung
Die Streuamplitude zweiter Ordnung ist nach (1.40)
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(2.40) |
Wenn wir als Ladungsverteilung (2.33)
heranziehen, kann man nach einigen rationalen Transformationen alle Integrationen
ausführen (Anhang C), sodaß
man
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(2.41) |
erhält. In [Lew56] wird nur der Realteil von (2.41) abgeleitet. Die vollständige zweite Born-Streuamplitude (2.41) für eine räumlich ausgedehnte Ladungsverteilung (2.33) wurde meines Wissens noch nie publiziert.
Wenn wir den Grenzübergang
durchführen, erhalten wir aus (2.41)
den Ausdruck (1.46) für eine punktförmige
Ladung [Joa75].
Verschiedene Streuamplituden zweiter Ordnung für unterschiedliche
Potentiale finden sich in [Mow52]. Man erkennt,
daß die Imaginärteile von (2.41)
und (1.46) für verschwindende Abschirmung
divergieren und damit der differentielle Wirkungsquerschnitt in der zweiten
Born-Näherung unendlich wird. Bei fehlender Abschirmung jedoch stellt
der Born-Wirkungsquerschnitt erster Ordnung den exakten Wirkungsquerschnitt
dar. Es sei daran erinnert, daß die Born-Reihe als Potenzreihenentwicklung
nach der Potentialstärke
interpretiert werden kann. Für die Streuamplitude erhalten wir dann
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(2.42) |
Damit ergibt sich für den differentiellen Wirkungsquerschnitt [Moi74]
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(2.43) |
wobei
für den Realteil steht. Man erkennt, daß ein Term vierter Ordnung
in
von der dritten Born-Amplitude herrührt. Dieser Term kompensiert exakt
den divergenten Imaginärteil der zweiten Born-Amplitude, sodaß
bei verschwindender Abschirmung in (2.43)
alle Terme höher als zweiter Ordnung in
gegen Null gehen.