3.2 Selbststreuung

 

 

Abbildung 3.4: Das Prinzip der Selbststreuung anhand eines konstanten $\Gamma$. In der linken Abbildung ist eine einzige konstante Selbststreufunktion eingezeichnet. Man jedoch auch eine treppenförmige Selbststreurate wählen, um die Selbststreuung zu reduzieren.

In Abschnitt 3.1 wurde eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die freie Flugzeit angegeben. Dazu muß man die Integralgleichung (3.10) lösen. Man kann nun (3.10) wesentlich vereinfachen, indem man einen fiktiven Streuprozeß der Form

$$S(\vec{k}, \vec{k'})= A(\vec{k})\,\delta (\vec{k}-\vec{k'})$$ (3.14)

einführt. Da der Zustand $\vec{k}$ nicht verändert wird, spricht man von Selbststreuung. Die Freiheit in der Wahl der Amplitude verwendet man dazu, die totale Streurate $\lambda$ zu einer Konstanten $\Gamma$ in der Energie zu machen (Abb. 3.4). Damit läßt sich (3.10) lösen und wir erhalten

$$t_{\mathrm d} =- \frac{\ln(r_{1})}{\Gamma}\; .$$ (3.15)

Diese Methode kann zu sehr großen Selbststreuraten führen, wenn diese nämlich stark energieabhängig ist, da dann der Anteil der Selbststreuung sehr hoch wird. Mehr als 50% Selbststreuung sind keine Seltenheit, da die Störstellenstreuung ein Maximum bei sehr kleinen Energien besitzt. Eine bessere obere Schranke für $\lambda$ kann man dadurch gewinnen, daß man $\Gamma$ als lineare Funktion in $\gamma (t)$ ansetzt:

$$\Gamma (\gamma (t)) = a\gamma (t) + \Gamma_{0}$$ (3.16)

Damit wird (3.10) unter Verwendung von (3.5)

$$\int\limits_{0}^{t_{\mathrm d}} \Gamma (t) {\mathrm d}t = \Ga... ...^{2}+ a \frac{\hbar^2\,D^2}{6m} \,t_{\mathrm d}^3= -\ln(r_{1})$$ (3.17)

eine kubische Gleichung in $t_{\mathrm d}$.