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Setzen wir für die gestreute Welle die ungestörte Kugelwelle ein, so erhalten wir die erste Born-Näherung für die Streuphasen
![\begin{displaymath}
\delta_{l}^{\mathrm{B1}} = -k \int\limits_{0}^{\infty}\! U(r)\,j_{l}^{2} (kr)\,r \,{\mathrm d}r \; .
\end{displaymath}](img117.gif) |
(1.17) |
(1.17) gilt, falls die Phasen für alle l klein gegenüber
eins sind. Wir können dann in (1.14) die Exponentialfunktion bis erster Ordnung entwickeln, sodaß
wir für (1.14) erhalten
![\begin{eqnarray}
f(k,\theta)^{\mathrm{B1}}=\frac{1}{k}\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \delta_{l}\,P_{l}(\cos \theta)\; .
\end{eqnarray}](img118.gif) |
(1.18) |
Die Reihe kann unter Zuhilfenahme von
[AS72]
![\begin{displaymath}\frac{\sin q\,r}{q\,r} = \sum_{l} (2l+1)\,P_{l}(\cos\theta) j_{l}^{2}(kr)
\end{displaymath}](img119.gif) |
(1.19) |
aufsummiert werden und liefert die bekannte Born-Streuamplitude erster Ordnung
![\begin{eqnarray}f(q)^{\mathrm{B1}}&=& -\int_{0}^{\infty} U(r)\,\frac{\sin{qr}}{qr}\,r^2 \,{\mathrm d}r
\; ,
\end{eqnarray}](img120.gif) |
(1.20) |
wobei
wir den Impulsübertrag
des gestreuten Elektrons eingeführt haben, da in der Born-Näherung die Streuamplitude nur vom Impulsübertrag abhängt.
Interessanterweise erfüllen die Streuphasen
(1.17) die Friedel-Summenregel (Anhang E), wenn man als Störpotential ein exponentiell geschirmtes Coulomb-Potential annimmt. Diese Regel über die Summe aller zusätzlichen Energiezustände, die eine Störstelle in einem
Festkörper erzeugt, stellt eine
Art Erhaltungssatz für die Ladung in einem Festkörper dar.
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Kaiblinger-Grujin Goran
1997-12-06