1.2.1 Born-Näherung der Streuphasen

Setzen wir für die gestreute Welle die ungestörte Kugelwelle ein, so erhalten wir die erste Born-Näherung für die Streuphasen

$$\delta_{l}^{\mathrm{B1}} = -k \int\limits_{0}^{\infty}\! U(r)\,j_{l}^{2} (kr)\,r \,{\mathrm d}r \; .$$ (1.17)

(1.17) gilt, falls die Phasen für alle l klein gegenüber eins sind. Wir können dann in (1.14) die Exponentialfunktion bis erster Ordnung entwickeln, sodaß wir für (1.14) erhalten

$$\begin{eqnarray} f(k,\theta)^{\mathrm{B1}}=\frac{1}{k}\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \delta_{l}\,P_{l}(\cos \theta)\; . \end{eqnarray}$$ (1.18)

Die Reihe kann unter Zuhilfenahme von [AS72]

$$\frac{\sin q\,r}{q\,r} = \sum_{l} (2l+1)\,P_{l}(\cos\theta) j_{l}^{2}(kr)$$ (1.19)

aufsummiert werden und liefert die bekannte Born-Streuamplitude erster Ordnung

$$\begin{eqnarray}f(q)^{\mathrm{B1}}&=& -\int_{0}^{\infty} U(r)\,\frac{\sin{qr}}{qr}\,r^2 \,{\mathrm d}r \; , \end{eqnarray}$$ (1.20)

wobei wir den Impulsübertrag $q= \vert\vec{k}-\vec{k'}\vert$ des gestreuten Elektrons eingeführt haben, da in der Born-Näherung die Streuamplitude nur vom Impulsübertrag abhängt. Interessanterweise erfüllen die Streuphasen $\delta_l$ (1.17) die Friedel-Summenregel (Anhang E), wenn man als Störpotential ein exponentiell geschirmtes Coulomb-Potential annimmt. Diese Regel über die Summe aller zusätzlichen Energiezustände, die eine Störstelle in einem Festkörper erzeugt, stellt eine Art Erhaltungssatz für die Ladung in einem Festkörper dar.