4.1 Die dynamische Rekombinationsgleichung  

Bei der Implementierung von Rekombinationseffekten in Bauteilsimulatoren ist zu beachten, daß die auftretenden Effekte grundsätzlich transient ablaufen [25]. Die dabei auftretenden Zeitkonstanten liegen jedoch in Bereichen, die die Zeitkonstanten, in denen sich Raumladungszonen ausbilden, um Größenordnungen übersteigen. Simuliert man in Zeitintervallen, in denen transiente Rekombinationsprozesse eine Rolle spielen, so hängt R_net in (2.10), (2.11) von der Zeit ab

$$\begin{eqnarray} \mathrm{div}\,\vec{J}_p(t) + q \cdot \frac{\partial p}{\partial t}&=&-q\cdot R_{net}(t) \end{eqnarray}$$ (4.3)

$$\begin{eqnarray} \mathrm{div}\, \vec{J}_n(t) - q \cdot \frac{\partial n}{\partial t}&=& q\cdot R_{net}(t)\; . \end{eqnarray}$$ (4.4)

Die betrachteten Zeitgrößen liegen dabei im Bereich von $10^{-6}\mathrm{s}$ [58]. Bezeichnet man für Elektronen und Löcher die Generationsraten mit G_n, G_p bzw. die Rekombinationsraten mit R_n, R_p, so lautet die dynamische Rekombinationsgleichung

$$\begin{eqnarray} \frac{dn_t}{dt}=R_n-G_n -R_p+G_p=-\frac{n_t}{\tau}+\frac{f_o\cdot N_t}{\tau}\; . \end{eqnarray}$$ (4.5)

Die Größe n_t ist die aktuelle von Elektronen besetzte Fehlstellendichte, N_t entspricht der Gesamtfehlstellendichte . Bei Donatorfehlstellen ist $N_t\!-\!n_t$ die von Löchern besetzte Fehlstellendichte und $q\cdot (N_t\!-\!n_t)$ die entsprechende Raumladung. Die Größe f_o ist die Besetzungsfunktion und gibt an, wieviele Fehlstellen im Momentanzustand von Elektronen besetzt sind

$$\begin{eqnarray} n_t\!=\!f_o\!\cdot\! N_t\; . \end{eqnarray}$$ (4.6)

Die Variable $\tau$ ist eine effektive Zeit, die das transiente Verhalten der Fehlstellgleichung bestimmt

$$\begin{eqnarray} \tau^{-1}=\tau_{cn}^{-1}+\tau_{en}^{-1}+\tau_{cp}^{-1}+\tau_{ep}^{-1} \qquad f_o=\tau\cdot(\tau_{en}^{-1}+\tau_{ep}^{-1})\; . \end{eqnarray}$$ (4.7)

Die Einfangzeiten $\tau_{cn},\tau_{cp}$ der Elektronen und Löcher sind indirekt proportional den thermischen Geschwindigkeiten v_th,n,v_th,p, den Einfangquerschnitten $\sigma_n,\sigma_p$ der Rekombinationszentren, sowie den Ladungsträgerkonzentrationen n,p

$$\begin{eqnarray} \tau_{cn}^{-1}=v_{th,n}\cdot \sigma_n\cdot n\qquad \tau_{cp}^{-1}=v_{th,p}\cdot \sigma_p\cdot p\; . \end{eqnarray}$$ (4.8)

Die Emissionszeiten $\tau_{en},\tau_{ep}$ der Elektronen und Löcher sind nicht von den entsprechenden freien Ladungsträgerkonzentrationen abhängig, sondern von der Energiedifferenz der Fehlstellenergieniveaus mit dem Leitungs- bzw. Valenzband

$$\begin{eqnarray} \tau_{en}^{-1}=v_{th,n}\cdot \sigma_n\cdot N_c\cdot \exp\!\left... ...t N_v\cdot \exp\!\left(\!-\frac{E_t-E_v}{k_B\cdot T_L}\right)\; . \end{eqnarray}$$ (4.9)

Die Gleichungen (4.9) geben jene Zeit an, in der im Mittel die Fehlstelle ein Elektron bzw. Loch emittiert. Obwohl dies ein auf ein Atom bezogener Prozeß ist, wird für die Beschreibung ebenfalls die thermische Geschwindigkeit v_th herangezogen. Dieser Widerspruch vergrößert sich durch die Tatsache, daß die thermische Geschwindigkeit im hydrodynamischen Modell die thermische Geschwindigkeit im Drift-Diffusionsmodell um ein Vielfaches übersteigen kann (siehe Abschnitt 4.4).

Formuliert man die Raten in (4.5) durch die charakteristischen Zeiten, so gilt

$$\begin{eqnarray} R_n=\frac{N_t-n_t}{\tau_{cn}},\qquad R_p=\frac{n_t}{\tau_{cp}},... ..._n=\frac{n_t}{\tau_{en}},\qquad G_p=\frac{N_t-n_t}{\tau_{ep}}\; . \end{eqnarray}$$ (4.10)