6.2.1 Modellbeschreibung  

Durch die Kenntnis der mittleren Trägertemperatur kann im hydrodynamischen Modell eine temperaturabhängige Generationsrate berechnet werden, die proportional der Teilchendichte ist. Die Trägertemperatur im Bauteil ist jedoch stark von der verwendeten Energierelaxationszeit abhängig. Verringert sich diese Zeit, so reduziert sich die Trägertemperatur im Bauteil. Im Grenzfall einer unendlich kleinen Energierelaxationszeit wird das hydrodynamische Modell somit zum Drift-Diffusionsmodell. Jedes trägertemperaturabhängige Generationsmodell kann daher nur in Zusammenhang mit einem entsprechenden Modell der Energierelaxationszeit gesehen werden.

Die theoretischen Grundlagen des Modells gehen auf [48,49] zurück. Ausgangspunkt in den Publikationen ist das Gleichgewicht des Ionisationsprozesses zum Inversprozeß, der als AUGER-Rekombinationsprozeß bekannt ist. Während der Ionisationsprozeß durch einen Ladungsträger eingeleitet und mit zwei zusätzlichen Trägern beendet wird, ist es beim AUGER-Prozeß umgekehrt. Er benötigt grundsätzlich drei Träger, die miteinander wechselwirken und den Prozeß auslösen. Bei dem Prozeß rekombinieren zwei Träger und geben die dabei frei werdende Rekombinationsenergie an den dritten Träger ab. Aus diesem Grund ist der AUGER-Prozeß proportional einem Tripelprodukt von Konzentrationen.

Die Nettogenerationsrate R_n,net des Elektronengesamtprozesses setzt sich aus der Differenz der Ionisationsrate und der AUGER-Rekombinationsrate zusammen. Für Elektronen lautet sie (analog für Löcher)

$$\begin{eqnarray} R_{n,net}^{II,AU}(T_n,n,p)=G_n^{II}(T_n,n) - G_n^{II}(T_n,n)\cdot\frac{n\cdot p}{n_{eff}^2}\; , \end{eqnarray}$$ (6.8)

mit

$$\begin{eqnarray} n_{eff}^2=N_c(T_n)\cdot N_v(T_p) \cdot exp\left(\frac{-E_g}{k_B\cdot T_n}\right)\; . \end{eqnarray}$$ (6.9)

Die Größe G_n^II(T_n,n) ist die Stoßionisationsrate der Elektronen. Sie errechnet sich zu

$$\begin{eqnarray} G_n^{II}\left( T_n,n \right) =n \cdot A\cdot \left[ \left( 1+\f... ...rac{-1}{u}\right) \right] \quad u=\frac{k_B\cdot T_n}{E_{thr}}\,. \end{eqnarray}$$ (6.10)

Das Argument u(T_n) entspricht einer auf E_thr normierten Temperatur. Der Vorfaktor A in (6.10) hat dabei die Einheit einer reziproken Zeit. Gleichung (6.10) ist das Ergebnis einer Integration über die Übergangswahrscheinlichkeiten der Ionisationsprozesse. Um (6.10) zu erhalten, sind mehrere vereinfachende Annahmen nötig. Die gröbste Näherung dabei ist die Annahme einer verschobenen, ortsunabhängigen MB-Verteilung des ionisierenden Trägersystems.

Um die Einzelprozesse in (6.8) zu analysieren, ist eine getrennte Implementierung von Stoßionisation und AUGER-Rekombination notwendig. In MINIMOS-NT ist deshalb nur der erste Summand von (6.8) als Modell der Stoßionisation implementiert. Separation von Stoßionisation und AUGER-Rekombination ist in den meisten Fällen gegeben, da in vielen Fällen einer der beiden Effekte dominiert. AUGER-Rekombination verlangt hohe Trägerdichten, was den hohen Trägertemperaturen im Stoßionisationsmodell widerspricht. Durch die Separation der beiden Modelle ist es erst möglich, beliebige AUGER-Modelle mit Stoßionisationsmodellen zu kombinieren. Allerdings kann es dann zu Widersprüchen kommen, wenn heiße Träger rekombinieren, wie es z.B. bei einem Beschuß mit einem hochenergetischen Elektronenstrahl der Fall ist.

Die Temperaturabhängigkeit der Stoßionisation wird durch den Vorfaktor A in (6.10) modelliert

$$\begin{eqnarray} A(T_L,n)=C_1\cdot \mathrm{exp}\!\left(C_2\cdot\frac{T_L}{T_0}\r... ...t(C_3-C_4\cdot \frac{T_L-T_0}{T_0}\right) \cdot u(T_n)\right) \,. \end{eqnarray}$$ (6.11)

Die Größe T₀ entspricht 300K, E₀ entspricht 1.12eV. Das Argument u(T_n) in (6.11) und (6.10) wird dabei durch den lokalen Bandabstand E_g ausgedrückt, der bei höheren Gittertemperaturen kleiner wird und zusätzlich von der lokalen Dotierung (Bandgapnarrowing) abhängt.

$$\begin{eqnarray} u(T_L,N_\mathrm{tot})=\frac{k_B\cdot T_n}{E_g(T_L,N_\mathrm{tot})}\; . \end{eqnarray}$$ (6.12)

Die in dieser Arbeit beschriebenen hydrodynamischen Simulationen der Stoßionisation behandeln Elektronen und Löchern mit dem gleichen Parametersatz. Allerdings ist das in MINIMOS-NT eingebaute Stoßionisationsmodell bereits so implementiert, daß unterschiedliche Parameter für Elektronen und Löcher angegeben werden können. Eine Kalibrierung des Modells an die beiden Ladungsträgertypen könnte durch asymmetrische pn-Dioden erfolgen, in denen Akzeptoren und Donatoren vertauscht vorkommen. Abbildung 6.1 zeigt den typischen Verlauf der Generationsrate pro Teilchen bei zwei unterschiedlichen Temperaturen. Die Modellparameter entsprechen dabei jenen, die durch Kalibrierung in Abschnitt 6.4 ermittelt werden.

  

Abbildung 6.1: Generationsraten pro Zeit und Teilchen.

Aus Abbildung 6.1 erkennt man, daß bei höherer Gittertemperatur die Generationsrate pro Teilchen beim Zunehmen der Trägertemperatur nicht so rasch ansteigt. Dies bewirkt letztlich ein langsameres Einsetzen des Durchbruchvorganges bei höheren Temperaturen.