4.3.2 Zeitableitungen und Generationsterme

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4.3.2 Zeitableitungen und Generationsterme

Zur Diskretisierung der Generationsterme sowie der Zeitableitungen führt die Standardmethode nach Galerkin nicht zur gewünschten numerischen Stabilität. Der Grund dafür ist in der Form der Massenmatrix $\mathbf {M} = \mathbf {N}^T\mathbf {N}$ zu finden, mit welcher die zeitlichen Änderungen der Funktionswerte $\partial\mathbf {u}/\partial{t}$ in Gl. 4.11 bewertet werden. Diese Matrix ist am Beispiel des Dreiecks durch

$\begin{displaymath}\mathbf {M} = \frac{1}{12}\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}\end{displaymath}$

(4.13)

gegeben. Am Beispiel des Einheitsdreiecks wird im Falle der reinen Diffusionsgleichung die Massenmatrix mit der Matrix

$\begin{displaymath}L=\Delta t \nabla\mathbf {N}^T( D \nabla\mathbf {N}) = \frac{... ...antom{-}0 \\ -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 \end{bmatrix}\end{displaymath}$

(4.14)

zur Gesamtmatrix addiert. Je kleiner der Zeitschritt ist, desto größer werden die numerischen Fehler aufgrund der begrenzten Darstellungsgenauigkeit, da die kleinen Werte der Matrix L den großen Werten der Matrix M überlagert werden müssen. Abgesehen von den Konvergenzproblemen des iterativen Gleichungslösers führt dies auch zu ungenauen Lösungen.

Verwendet man hingegen sogenanntes Lumping [Zie89] für die Massenmatrizen M, kann man diese Schwierigkeiten unterbinden. Lumping ist ein Diagonalisierungsverfahren, mit dem die an sich voll besetzten Massenmatrizen diagonalisiert werden können, indem in die Werte in der Hauptdiagonale gleich der Zeilensumme und die Nebendiagonalen zu Null gesetzt werden. Formal entspricht dies der Minimierung des Residuums der Zeitableitung an den Knotenpunkten, während mit der Standardmethode das integrale Residuum im Element minimiert wird.

Durch das Lumping wird die resultierende Systemmatrix diagonaldominant und mit kleiner werdendem Zeitschritt wird die Diagonaldominanz gestärkt. Weiters treten die problematischen numerischen Größenverhältnisse in den Nebendiagonalen nicht mehr auf und es kommt zu Auslöschungseffekten von Diskretisierungsfehlern, sodaß diese Methode zu bevorzugen ist. Lediglich bei großen Zeitschritten wird mit dieser Methode die Diffusion stärker überschätzt als mit der Standard-Massenmatrix [Zie91].

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Ernst Leitner
1997-12-30