4.3 Diskretisierung der Diffusionsgleichung mit der Methode der finiten Elemente

Wie bereits in Kap. 4.1 ausgeführt, besteht die Näherungslösung aus einer Linearkombination von lückenlos aneinander gefügten Ausschnitten der gewählten Funktionsklasse entsprechend Gl. 4.2. Die Kunst besteht nun darin, jene Linearkombination zu errechnen, die der tatsächlichen Lösung am nächsten kommt. Die folgende Kurzfassung der in [Zie89] ausführlich wiedergegebenen Herleitung des Prinzipes der gewichteten Residuen soll zum prinzipiellen Verständnis der Methode dienen.

Die FEM stellt mit der Methode der gewichteten Residuen, auch als Methode nach Galerkin bekannt, eine Standardmethode zur direkten Diskretisierung verschiedenster Differentialoperatoren zur Verfügung. Wenn

$$\mathcal{A}(u) + f = 0$$ (4.6)

die zu lösende Differentialgleichung darstellt, läßt sich in einfacher Weise zeigen, daß

$$\int_\Omega{w\left( \mathcal{A}(u) + f \right) \,{\mathrm d}\Omega} = 0$$ (4.7)

für jede Funktion w gelten muß [Zie89]. Naturgemäß kann eine numerische Näherung ${\hat{u}}$ diese Forderung im allgemeinen nicht erfüllen. Beschränkt man sich jedoch auf eine bestimmte Testfunktion v, so kann

$$\int_\Omega{v\left( \mathcal{A}({\hat{u}}) + f \right) \,{\mathrm d}\Omega} = 0$$ (4.8)

erfüllt werden, falls der Integrand integrierbar ist. Man bringt dadurch den gewichteten Mittelwert des Residuums zum Verschwinden. Die Forderung nach Integrierbarkeit läßt sich im allgemeinen erfüllen, wenn der Integrand keine Singularitäten aufweist. Daraus leitet sich ab, daß in Gl. 4.8 die Formfunktionen mindestens n-fach differenzierbar sein müssen, wenn n der Ordnung des Differentialoperators A entspricht. Oftmals läßt sich diese Forderung durch partielle Integration abschwächen, indem man in Gl. 4.8

$$\int_\Omega{v\mathcal{A}({\hat{u}})\,{\mathrm d}\Omega}=\int... ...cal{D}({\hat{u}})\,{\mathrm d}\Omega}+ v\mathcal{E}({\hat{u}})$$ (4.9)

setzt, wobei die Ordnungen der Differentialoperatoren $\mathcal{C}$ und $\mathcal{E}$ gleich 1, und die Ordnung des Operators $\mathcal{D}$ gleich (n-1) sind. Man erreicht dadurch die Integrierbarkeit bereits mit Ansatzfunktionen, welche (n-1)-fach differenzierbar sind. Diese Formulierung von Gl. 4.8 wird als weak formulation bezeichnet und spiegelt häufig die physikalischen Gegebenheiten besser wieder, da die Forderung nach oftmaliger Differenzierbarkeit der Funktion u in vielen Fällen physikalisch nicht motivierbar ist.