4.3.1 Anwendung auf die Drift-Diffusion

Im folgenden wollen wir die Diskretisierung der allgemeinen Drift-Diffusionsgleichung darstellen. Diese Gleichung erlaubt die Verwirklichung der in Kap. 3 vorgestellten Differentialgleichungen:

$$\nabla (\vec{v}_iu_i + \sum_{j=1}^{n}{D_{ij} \nabla u_j}) + \sum_{j=1}^{n}{G_{ij}} + {\frac{\partial{u_i}}{\partial{t}}} = 0.$$ (4.10)

Die Größen u_i entsprechen den einzelnen zu beschreibenden Dopanden- und Gitterdefektkonzentrationen. Die Koeffizienten D_ij sind die jeweiligen Diffusionskoeffizienten, G_ij die Generations- beziehungsweise Rekombinationsterme. Die Werte v_i stellen konvektive Terme dar, die sowohl den Einfluß des elektrostatischen Potentialgradienten, als auch konvektive Terme aufgrund von Relativbewegungen zwischen Gitterpunkten und Material beschreiben können.

Das äquivalente Galerkin-Integral für die Größe u_j innerhalb eines Elementes e lautet daher (unter Anwendung von Gl. 4.9)

$$\begin{split} \int\limits_{\Omega_e}{\nabla\mathbf {N}^T \le... ...f {u}_j}}{\partial{t}}}\,{\mathrm d}\Omega_e} &= 0. \end{split}$$ (4.11)

Aus physikalischer Sicht entspricht der Term $\nabla(\vec{v}\mathbf {N}\mathbf {u}_j+\sum_{i}{D_{ij}\mathbf {N}\mathbf {u}_i})$ dem Teilchenfluß der Spezies j. Bekanntermaßen resultiert die numerische Auswertung dieses Ausdrucks bei großem konvektiven Anteil in einer schwingungsförmigen numerischen Lösung. Das Galerkin-Verfahren ist in diesem Fall nicht anwendbar, sodaß eine spezielle Behandlung dieses Falles erforderlich ist.

In der Welt der FBM ist die Methode nach Scharfetter-Gummel gebräuchlich [Sch69]. Diese Methode verwendet eine analytische Lösung der eindimensionalen Drift-Diffusionsgleichung zur Näherung des Stromes. Bei der Erweiterung auf die multidimensionale Drift-Diffusionsgleichung wird die eindimensionale Methode entlang der Gitterlinien angewendet, was aber nur dann genaue Ergebnisse liefert, wenn die Gitterlinien in Richtung der Konvektion beziehungsweise normal dazu ausgerichtet sind.

Stimmen die Richtung der Gitterline und der Konvektion überein, tritt normal zur Gitterlinie keine Konvektion auf und der gesamte Konvektionsstrom wird durch die eindimensionale Näherung erfaßt. Im Falle unterschiedlicher Ausrichtung erreicht dieses Verfahren jedoch nur unzureichende Genauigkeit. Hat man bei der Berechnung des Stromes jedoch die Konvektionsrichtung zur Verfügung und ändert sich diese im betrachteten Element nicht wesentlich, kann man für jedes Element ein lokales Koordinatensystem einführen, welches eine Achse parallel zur Konvektionsrichtung hat. Entlang dieser Achse ist die eindimensionale Näherung sehr gut anwendbar. Normal zur Konvektionsrichtung verschwindet der konvektive Anteil des Stromes und die herkömmliche Näherung beschreibt den verbleibenden Diffusionsstrom hinreichend genau.

  

Abbildung 4.4: Aufteilung des Diffusionsstromes $\vec{J}$ in Tangentialrichtung J_t und Normalrichtung J_n, sowie Summation J_g des Normalstromes und des resultierenden Tangentialstromes J_r.

Der Gesamtstrom ergibt sich dann zu

$$\vec{J}=\left(\sum\limits_{i}{D_{ij}\nabla\mathbf {N}\mathbf ... ...thbf {u}_i}\right)^t + \vec{v}\mathbf {N}\mathbf {u}_j \right)$$ (4.12)

als Summe des Diffusionstromes $\vec{J}_j^n=\left(\sum_{i}{D_{ij}\nabla\mathbf {N}\mathbf {u}_i}\right)_n$ normal zur Konvektionsrichtung und dem Strom in Konvektionsrichtung, welcher sich aus dem diffusiven Anteil $\vec{J}_j^t=(D_{jj}\nabla\mathbf {N}\mathbf {u}_j)^t$ und dem konvektiven Anteil $\vec{v}\mathbf {N}\mathbf {u}_j$ zusammensetzt (Abb. 4.4). Die Funktion S steht dabei für die Stromdiskretisierung nach Scharfetter-Gummel. Der Strom in Konvektionsrichtung kann nach Scharfetter-Gummel diskretisiert werden, wenn man die Projektion des Elementes auf die betrachtete Richtung als Integrationspfad verwendet. Man erhält so eine stabile Diskretisierung der Drift-Diffusionsgleichung, welche nur schwach von der Ausrichtung des Gitters abhängt [Shi89].