4.4.1 Gewähltes Integrationsverfahren

Ein geeignetes Verfahren zur Integration von Gl. 4.16 muß eine stabile Akkumulierung des zeitlichen Integrationsfehlers gewährleisten und soll bei der Wahl des Zeitschrittes möglichst wenig Beschränkungen auferlegen (unbedingte Stabilität). Da das aus der Diskretisierung hervorgehende Gleichungssystem sehr steif ist (die Zeitkonstanten des Systems können sich um mehrere Größenordnungen unterscheiden), wird die implizite Rückwärts-Euler Methode zur Zeitintegration gewählt. Dieses Verfahren ist unbedingt stabil, unabhängig von der Größe des Zeitschrittes $\Delta t$, und weist einen Diskretisierungsfehler erster Ordnung auf [Vem81]. Für jeden Zeitschritt n ist

$$\mathbf {L}(\mathbf {{\hat{u}}}_{n+1}) + \frac{\mathbf {{\hat{u}}}_{n+1}-\mathbf {{\hat{u}}}_{n}}{\Delta t_n} = 0$$ (4.17)

zu lösen, was in der Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystemes resultiert. $\mathbf {{\hat{u}}}_n$ und $\mathbf {{\hat{u}}}_{n+1}$ stehen für die Näherungslösungen zu den Zeitpunkten t_n und t_n+1.

Zur Verminderung des Aufwandes wird als Startlösung für einen Zeitschritt die lineare Extrapolation des zeitlichen Verlaufes des letzten Zeitschrittes gewählt. Dies entspricht exakt der Lösung der ersten Newtoniteration mit der Lösung des letzten Zeitschrittes als Startwert und erspart pro Zeitschritt eine nichtlineare Iteration und somit eine Lösung des linearisierten Systemes.

Bei sehr stark nichtlinearen Systemen wie sie z.B. bei Paardiffusionsmodellen auftreten, darf jedoch schon bei der ersten Iteration nur ein Teil der berechneten Lösungsänderung verwendet werden (Dämpfung), da man sich sonst unter Umständen von der Lösung entfernt anstatt sich ihr zu nähern. Somit ist in diesem Fall die Verwendung der alten Lösung als Anfangswert für den neuen Zeitschritt effizienter, da dann der implementierte Dämpfungsalgorithmus (Kap. 4.5) für die notwendige Begrenzung der Lösungsänderung sorgt.