4.4.2 Diskretisierungsfehler der Zeitableitung

Im Unterschied zur örtlichen Fehlerabschätzung kann der zeitliche Diskretisierungsfehler lokal für jeden Punkt unabhängig von den benachbarten Punkten ermittelt werden. Nachdem der Diskretisierungsfehler des Rückwärts-Euler Schemas mit erster Ordnung gegen Null geht, muß die Fehlerabschätzung zumindest die zweite Ableitung nach der Zeit bewerten. Dazu benötigt man für jeden Punkt Werte an zumindest drei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten. Der zeitliche lokale Diskretisierungsfehler des n-ten Zeitschrittes kann dann durch

$$\tau_n \simeq \frac{\frac{1}{\Delta t_n} \left(u_n -u_{n-1}\... ..._{n-1}-u_{n-2}\right) }{\Delta t_n + \Delta t_{n-1}}\Delta t^2$$ (4.18)

aus den Näherungslösungen u_i näherungsweise bestimmt werden.

Entsprechend Gl. 6.3 verhält sich der globale Fehler e zeitlich gesehen gleich wie die Näherungslösung ${\hat{u}}$, mit dem Unterschied, daß mit jedem Zeitschritt eine zusätzliche Störung $\tau_n$ eingeprägt wird. Es wirken dadurch zwei Mechanismen gegeneinander: das Diffusionsverhalten wirkt ausgleichend auf die Summe der eingeprägten lokalen Diskretisierungsfehler. Bei hinreichend großem Fehler e ist die ausgleichende Wirkung gleich stark wie der pro Zeitschritt eingeprägte Fehler, sodaß sich eine stabile Akkumulation des Gesamtfehlers ergibt.

Leider weist die Gleichung für die Fehlerakkumulation die gleiche Steifheit wie das zugrundeliegende Problem auf, sodaß deren genaue Abschätzung ebenfalls die Lösung eines Gleichungssystemes erfordern würde. Dieser Aufwand erscheint jedoch relativ hoch im Vergleich zum Nutzen, sodaß man sich ähnlich wie beim räumlichen Diskretisierungsfehler, auf eine Gleichverteilung des lokalen Diskretisierungsfehlers über den gesamten Zeitraum beschränkt. Der Gesamtfehler e_n nach n Zeitschritten läßt sich jedoch zu

$$e_n < \left\vert e_0 \right\vert + n \mathop{\mathrm{max}}\limits_{i=1\ldots n} \left\vert \Delta t_i \tau_i \right\vert$$ (4.19)

abschätzen [Jop93], wobei e₀ dem Fehler zu Beginn (Interpolationsfehler) und $(\Delta t_i \tau_i)$ näherungsweise dem pro Zeitschritt generierten Fehler entspricht. Der Gesamtfehler e_n ist damit jedenfalls beschränkt und dessen Göße kann durch die Vorgabe des lokalen Fehlers eingestellt werden.