5.3.2 Qualitätsänderung durch den ersten Verfeinerungsschritt

Zur Abschätzung der auftretenden Qualitätsänderung wird die Qualität der bei der Verfeinerung entstehenden Elemente in Relation zur Qualität des Vater-Elementes gesetzt. Allerdings müssen in diesem Fall die zur Diskretisierung verwendeten Elemente verglichen werden, sodaß im Falle der Tetraederverfeinerung die Qualität des Vater-Tetraeders mit der Qualität der zur Diskretisierung des Oktaeders verwendeten Tetraeder (vgl. Abb. 5.5) verglichen werden muß.

Nachdem die neuen Knoten immer in der Mitte der Kanten eingefügt werden, ergibt sich für das Volumen $V_{\mathrm {okt}}$ des entstehenden Oktaeders

$$V_{\mathrm {okt}}=\frac{V_{\mathrm {tet}}}{2}$$ (5.3)

die Hälfte des Tetraedervolumens $V_{\mathrm {tet}}$. Mit der weiteren Unterteilung des Oktaeders in 8 Tetraeder erhält man für das Volumen der Diskretisierungstetraeder

$$V_{\mathrm {tet,disk}}=\frac{V_{\mathrm {okt}}}{8}=\frac{V_{\mathrm {tet,Vater}}}{16}.$$ (5.4)

Die maximal mögliche Kantenlänge der Diskretisierungstetraeder ist mit

$$h_{\mathrm {tet,disk}} \leq \frac{h_{\mathrm {tet,Vater}}}{2}$$ (5.5)

halb so lang wie die längste Kante im Vater-Tetraeder. Somit ergibt sich für die Qualität der Diskretisierungstetraeder $Q_{\mathrm {tet,disk}}$

$$Q_{\mathrm {tet,disk}} = \frac{V_{\mathrm {tet,disk}}}{h_{\mathrm {tet,disk}}^3} \geq \frac{1}{2}Q_{\mathrm {tet,Vater}}$$ (5.6)

als untere Grenze, wobei $Q_{\mathrm {tet,Vater}}$ die Qualität des Vater-Tetraeders ist. Im Falle der Verfeinerung eines Oktaeders ergibt eine ähnliche Abschätzung

$$Q_{\mathrm {tet,Kind}} \geq \frac{1}{4}Q_{\mathrm {tet,disk}}.$$ (5.7)

Die maximal mögliche Änderung der Elementqualität im Zuge des ersten Verfeinerungsschrittes beläuft sich also auf die Halbierung im Falle der Tetraederverfeinerung und auf die Vierteilung im Falle der Oktaederverfeinerung. Alle weiteren Verfeinerungen erzeugen keine neuen Elementsformen mehr, sodaß auch keine weitere Veränderung der Elementqualität auftreten kann.