5.3.3 Qualitätsänderung durch die Anpassungszerlegung

In den weitaus meisten Fällen sind nur lokal begrenzte Gebiete der Verfeinerung zu unterziehen, um eine Gleichverteilung des Diskretisierungsfehlers zu erreichen. Am Übergang von einem verfeinerten Gebiet zu einem unverfeinerten sind nun Elemente mit Kindern neben Elementen ohne Kindern anzutreffen. Zur Reparatur dieser lokalen Gitterinkonsistenz wird das unverfeinerte Element derart zerlegt, daß wiederum ein konsistentes Gitter entsteht (siehe Abb. 5.6). Diese Verfeinerung wird im folgenden Anpassungszerlegung genannt.

Die dabei entstehenden Elemente weisen wiederum neue Formen auf, sodaß neben der ersten Verfeinerung auch durch die Anpassungszerlegung Einfluß auf die Elementqualität genommen wird. Diese Anpassungszerlegungen bestehen durchwegs aus Tetraedern. Man muß also zur Abschätzung der Qualitätsänderung diese Tetraeder in Relation zu den unverfeinerten Elementen setzen. Zur Anpassungszerlegung werden drei verschiedene Zerlegungsarten verwendet. Diese sind in Abb. 5.6 dargestellt und bestehen in der Zerlegung eines Tetraeders in zwei beziehungsweise vier Tetraeder. Die Zerlegung in zwei Tetraeder entsteht beim Einfügen eines Knotens an einer Kante (Abb. 5.6 links). Wird an der gegenüberliegenden Kante ebenfalls ein Knoten eingefügt, wird die Unterteilung in vier Tetraeder gemäß Abb. 5.6, Mitte, notwendig. Diese beiden Zerlegungsarten dienen zur Anpassung an einen oder zwei verfeinerte Liniennachbarn. Die Zerlegung in vier Tetraeder gemäß Abb. 5.6, rechts, wird zur Anpassung an einen verfeinerten Flächennachbarn verwendet. Alle anderen Konfigurationen wurden aufgrund schlechter Elementsqualität der Zerlegungstetraeder nicht verwendet. Zur Anpassung solcher Konfigurationen muß dann die nächst feinere Zerlegung verwendet werden (siehe Kap. 7.2.3).

In diesen Fällen bleibt die maximale Abmessung der Kinder-Tetraeder gleich der maximalen Abmessung des Vater-Elementes und das Volumen ist entweder $1/2 \times V_{\mathrm {tet,Vater}}$ beziehungsweise $1/4 \times V_{\mathrm {tet,Vater}}$, sodaß sich ein Verhältnis von

$$Q_{\mathrm {tet,anp}} \geq \frac{1}{4}Q_{\mathrm {Vater}}$$ (5.8)

sowohl für den Tetraeder als auch für den Oktaeder ergibt.

Zusammenfassend ist die Qualitätsminderung unabhängig von der Anzahl der rekursiven Verfeinerungstiefe durch die verwendete Verfeinerungsmethode auf 1/4 der Gitterqualität des Initialgitters beschränkt.

  

Abbildung 5.6: Verschiedene Zerlegungsarten zur Anpassung zwischen Gebieten unterschiedlicher Verfeinerungstiefe.