2.4.1 Die universelle Abschirmfunktion

 

Die Grundlage des Ziegler-Biersack-Potentials sind die universellen Abschirmfunktionen, die wiederum auf dem Hartree-Fock-Verfahren zur Berechnung der über alle Richtungen gemittelten Elektronenverteilungen der Atome im Festkörper beruhen. Ohne diese Mittelung erzielt man keine sphärische Symmetrie, und die Analyse des Stoßvorganges ist noch wesentlich komplizierter, denn Gleichung 2.7 liefert nicht mehr den Streuwinkel, sondern es muß erst eine Integration der Bewegungsgleichung durchgeführt werden. Weiters wird angenommen, daß nicht nur die Kristallatome durch diese Elektronenverteilung beschrieben werden, sondern auch das implantierte Ion selbst, d.h., seine Ionisierung wird vernachlässigt. Zur Berechnung des Wechselwirkungspotentials wird vorausgesetzt, daß sich die Elektronenwolken von Ion und Atom ohne Verzerrung durchdringen. Folgende Aspekte werden jedoch berücksichtigt:

• Die elektrostatische Wechselwirkung zwischen Elektronen und Atomkernen,
• die Anregung der Elektronen und die Austauschenergie, die durch die erhöhte Dichte im Überlappungsbereich der Elektronenwolken entsteht.

Diese Annahmen versetzen einen in die Lage, das interatomare Potential für eine beliebige Ion-,,Target``-Kombination zu berechnen. Da aber dadurch sehr stark von einander abweichende Kurven entstehen (siehe Abbildung 2.11), müssen weitere Überlegungen angestellt werden, um eine einheitliche Funktion für möglichst viele Paare zu finden.

  
Abbildung 2.11: Abschirmfunktion fuer 261 Ion-Targett-Kombinationen als Funktion des Abstandes [Zie85]. Der praktische Nutzen dieser Funktion ist sehr eingeschraenkt, aber durch Skalierung des Abstandes gelingt es, die Kurven zu vereinheitlichen (siehe Abbildung 2.12).

  
Abbildung 2.12: Abschirmfunktion für 261 Ion-,,Target``-Kombinationen als Funktion des skalierten Abstandes , mit als sogenannte Abschirmlänge [Zie85].

Man kann jedoch eine Systematik in den Kurven von Abbildung 2.11 erkennen, denn die Abschirmfunktionen ist für schwere Teilchen kleiner als für leichte. Dieser Umstand legt die Einführung eines geeigneten Skalierungsradius (Abschirmlänge ) nahe, der die Kurven enger zusammenrücken läßt (siehe Abbildung 2.12). Man erhält dadurch die universelle Abschirmfunktion und spricht dann ganz allgemein von universellen Potentialen. Man kann allerdings auch für wenige, ausgesuchte Ion-,,Target``-Kombinationen die in [Zie85] numerisch berechneten und tabellierten Abschirmfunktionen verwenden (spezielle Potentiale).

  
Abbildung 2.13: Vergleich verschiedener Abschirmfunktionen [Zie85].

Die Struktur der universellen Formel kann unterschiedlich sein. Ziegler, Biersack und Littmark [Zie85] und Molière [Mol47] verwenden z.B. eine Summe von Exponentialfunktionen der Form

 
allerdings mit unterschiedlicher Anzahl von Elementen n, Koeffizienten (, ) und Ausdrücken für die Abschirmlänge .

Lindhard et al. [Lin63] verwenden im Gegensatz dazu folgende Funktion:

Da die in [Zie85] angepaßte Funktion eine Standardabweichung zwischen Theorie und Experiment von nur 5% aufweist, werden die dazugehörigen Parameter am häufigsten verwendet und man spricht von der universellen ZBL Abschirmfunktion. Abbildung 2.13 zeigt die unterschiedlichen Abschirmfunktionen als Funktion des Abstandes und in Tabelle 2.1 sind die Koeffizienten und Abschirmlängen für die hier angegebenen Funktionen zusammengestellt.

  
Tabelle 2.1: Die Koeffizienten n, und und der mathematische Ausdruck fuer die Abschirmlaenge der gebraeuchlichsten universellen Abschirmfunktionen .

Setzt man nun Gleichung 2.15 in 2.14 ein, so kann Gleichung 2.7 nicht mehr analytisch gelöst werden, und eine numerische Integration kommt aus Zeitgründen auch nicht in Frage. In dem entwickelten Programm wurde ein Tabellenverfahren implementiert [Hob88a], wobei in einer Tabelle der in Abhängigkeit von einer skalierten Energie (vgl.\ Gleichung 2.17) und einem skalierten Stoßparameter () abgespeichert wurde: