Zur Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems 12.1 wird der Newton-Raphson Algorithmus [25] verwendet:
Wir haben das nichtlineare Gleichungssystem
zu lösen. Das Gleichungssystem 12.1 besteht aus den Gleichungen
wobei 
die Anzahl der unbekannten Zweigwerte und 
die Anzahl
der Gleichungen ist.
ist der Lösungsvektor der 
-Werte bei der 
-ten
Iteration, also 
.
Für unsere nichtlineare Funktion kann nun im Punkt eine
Taylor-Entwicklung der Funktionen 
wie folgt durchgeführt werden:
Nun ersetzen wir für 
die Werte 
der nächsten
Iteration in Gleichung 12.3 und erhalten
Wenn man nun davon ausgeht, daß eine gute Näherung von
ist, so ist jede Komponente des Vektors
eine kleine Zahl im Vergleich zu
und wir können die Terme höherer Ordnung in Gleichung 12.4
vernachlässigen. Dadurch erhalten wir nun die Beziehung
Nun ist ja unser Ziel, daß die Lösung unseres
Gleichungssystems 12.2 ist. Also soll 
gleich 
sein. Wenn wir diese Bedingung in Gleichung 12.5
einsetzen, erhalten wir
Das aus Gleichungen bestehende Gleichungssystem 12.6
kann nun in Matrixform geschrieben werden:
wobei 
die Jacobi-Matrix ist, das ist die Matrix
der partiellen Ableitungen der Gleichungen nach den Unbekannten.
Auf Grund unserer Formulierung der Netzwerkgleichungen ist die Jacobi-Matrix
in der Regel keine quadratische Matrix. Daher ist auch die Inversion
der Jacobi-Matrix nicht möglich.
Wenn das Gleichungssystem 12.7 gelöst wird, erhält man einen
Korrekturvektor mit dem aus dem alten der nächste
Iterationswert ermittelt wird.
Im Falle eines linearen Gleichungssystems verschwinden die Terme
höherer Ordnung in Gleichung 12.3 und das Newton-Raphson
Verfahren nach Gleichung 12.7 führt in einem Iterationsschritt
zur Lösung.
Bei einem nichtlinearen Gleichungssystem ist das exakte Ergebnis nie
zu erreichen sondern es entsteht immer ein Fehler.
Die Größe des Fehlers ist anhand der vernachlässigten Terme
höherer Ordnung in Gleichung 12.3 exakt berechenbar,
sofern bekannt ist.
Wie in [25] gezeigt wird, ist die Konvergenz des Newton-Raphson
Verfahrens quadratisch, sofern der Anfangswert der Iteration nahe
genug bei der Lösung liegt.
Wenn die Jacobi-Matrix nicht analytisch berechnet werden kann,
sondern durch numerische Differenzierung angenähert werden muß,
sinkt die Konvergenz von 2 (quadratisch) auf etwa 1.6 ab.
