Auch Induktivitäten können über eine ähnliche Vorgangsweise eingebunden werden, wozu allerdings einige Vorüberlegungen angestellt werden müssen.
Ist der Querschnitt einer Leitung wie in Bild 7.4 gegeben, so bildet sich um den stromdurchflossenen Leiter ein Magnetfeld aus. Dieses gehorcht im linearen, quasistationären Fall im permeablen Material den folgenden Gleichungen:
Im Zweidimensionalen kann das Magnetfeld, das diesen Gleichungen
entspricht, durch eine Dualitätstransformation ebenso wie eine
Kapazität durch eine Laplacegleichung ausgerechnet werden.
Die Laplacegleichung wird in der folgenden Ableitung für das
Vektorpotential der magnetischen Induktion abgeleitet.
Voraussetzung ist, daß in der gesamten abgebildeten Struktur, auch in
den Leitern, nur Ströme in
-Richtung fließen und daß die
Permeabilität des Induktormaterials nur von
und
, nicht aber
von
abhängt.
Um (7.7) zu erfüllen, setzt man nach [36] die
magnetische Induktion als Rotor eines Vektorpotentials an,
dessen Divergenz man frei wählen kann und gleich Null setzt:
Mit dem Übergang auf zwei Dimensionen durch
ergeben sich nach elementaren algebraischen Umformungen für die -
und
-Komponente des Vektorpotentials überall (also auch in den
Leitern) zwei einfache Laplacegleichungen,
die man durch
löst. Für die -Komponente des Vektorpotentials erhält man die
Gleichung
Dabei ist die Stromdichtenkomponente in
-Richtung, die an
der Außenfläche der idealen Leiter von 0 verschieden ist, sonst
überall 0 ist. Im Induktor wird daher
gelöst. Das Vektorpotential ist von unabhängig:
.
Um die entsprechende Spannung, die an der Induktivität anliegt, in die Gleichung einzubringen, kann man ein Integral des magnetischen Flusses über eine Querschnittsfläche bilden, die im Zweidimensionalen auf eine Linie projiziert werden kann (Bild 7.5).
Für den Fluß erhält man:
Um nun die Induktivität in eine Schaltung einbinden zu können, legt
man diese Spannung, die eigentlich entlang der Leitung abfällt,
zwischen die beiden Leiterkontakte und bildet aus den Potentialen
dieser Kontakte Randbedingungen für die -Komponente des
Vektorpotentials:
Den Strom läßt man ebenfalls zwischen den beiden Kontakten fließen. Man kann ihn im Originalmodell durch ein Linienintegral ermitteln:
Durch den Übergang auf ein Oberflächenintegral, indem man die Kurve
mit der Tiefe expandiert, erhält man das zweidimensionale Modell:
Das Pseudomaterial ,,Induktor`` wird nun dadurch definiert, daß man
als Integralpotential
definiert und
die Pseudostromdichte
über das Material fließen läßt. Es
ergeben sich die Gleichungen für das Material ,,Induktor``,
und
mit der Randbedingung für das Integralpotential
an jedem Kontakt.
Die Integrationskonstanten an den einzelnen Kontakten müssen so gewählt werden, daß für die stationäre Simulation (also zum Startzeitpunkt) keine Spannung am Induktor anliegt, allerdings ein konstanter Strom fließt.
Mit einer Anordnung nach Bild 7.6 wird zwischen den beiden Kontakten eine Induktivität
erzeugt. Der umgebende Raum, der durch
NEUMANN-Randbedingungen abgetrennt ist, entspricht dabei
einer unendlichen magnetischen Leitfähigkeit .
Es soll hier noch angemerkt werden, daß mit den einfachen beschriebenen Modellen zwar Induktivitäten oder Kapazitäten von Leitern in die Simulation eingebracht werden können, daß aber selbstverständlich keine Leitungsgleichungen gelöst werden und daß daher eine lange oder verlustbehaftete Leitung mindestens durch ein Netzwerk dargestellt werden müßte, wofür der Simulator allerdings keine komfortablen Dienste zur Verfügung stellt.
Durch die Beschränkung auf zwei Dimensionen ist derzeit auch keine Berechnung realistischer Leiterbahnen möglich.