6.1 Implementierung

Die Monte Carlo Methode ist sehr gebräuchlich zur Berechnung von mehrfachen Integralen [113], da die Berechnungsprozedur einfach ist: Der Wert des Integrals wird als Erwartungswert (EW) einer Zufallsvariablen dargestellt, und der EW wird geschätzt durch Stichprobenmittelung zufälliger Stichproben. Andere Vorteile der Monte Carlo Methode sind z.B. dass diese Art der Integration für beliebig geformte Integrationsbereiche möglich ist. Man umgibt dazu den Integrationsbereich mit einem n-dimensionalen Quader und verwirft alle Zufallspunkte, die nicht in den Bereich fallen. Fehlerabschätzungen sind auf einfache Weise durch Auswertung der Stichprobenvarianz möglich. Fehlerabschätzungen sind sonst sehr zeitaufwendig, da die Simpson- und die Gauß-Regel eine exponentiell mit der Dimension wachsende Anzahl von Funktionsauswertungen erfordern.

Die Monte Carlo Methode weist einen relativ hohen Bedarf an Rechenzeit auf. Die Suche nach dem betreffenden Element zu dem Zufallspunkt ist zeitaufwendig. Um den Fehler zu reduzieren, muss die Funktion entsprechend oft ausgewertet werden, wobei für jede Auswertung das betroffene Element gefunden werden muss. Der Rechenaufwand verhält sich verkehrt proportional zur Varianz des Monte Carlo Integrals. Die Konvergenz der Berechnungsprozedur kann durch einige Varianzreduktionsschemata verbessert werden [140,141]. Die Bekanntesten sind:

$\bullet$ Gewichtung der Stichproben: Es wird eine Dichtefunktion entsprechend der zu erwarteten Beiträge vorgegeben. Regionen, korrespondierend zu großen Werten des Integranden, werden öfters ausgewählt.
$\bullet$ Geschichtete Stichproben: Hierbei wird der Integrationsbereich in Teilintervalle unterteilt, in denen der Integrand nur wenig variiert; je weniger der Integrand über dem Integrationsintervall variiert, umso kleiner ist die Varianz des Monte Carlo Integrals. Die Idee ist ähnlich zu obengenannter, aber die Reduktion wird durch Erhöhung der Stichproben in wichtigen Teilintervallen erreicht und nicht durch Auswahl des globalen Optimums mittels einer Dichtefunktion.
$\bullet$ Kontrollierte Variation: Diese Technik beruht darauf, dass nicht ein Parameter direkt geschätzt wird, sondern die Differenz zwischen der Aufgabenstellung und einer analytischen Lösung betrachtet wird.

Der Vorteil der hier verwendeten Implementierung besteht darin, dass trotz Verwendung eines unstrukturierten Gitters das Element sehr schnell gefunden wird. Dazu wird vorher gemäß der korrespondierenden Wahrscheinlichkeitsfunktion das betreffende Element bestimmt, und dann erst der Punkt innerhalb des Tetraeders. Zu diesem Zweck werden für jedes leitfähige Segment zwei Felder angelegt. Im ersten ist das Volumen jedes Elementes gespeichert. Die Summe aller Einträge ist auf eins normiert. Im zweiten Feld ist bereits die Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnet für jedes Leiterelement mittels Summation von allen Einträgen vom Beginn des Feldes bis zum aktuellen Index. Abbildung 6.1 verdeutlicht dieses Verfahren. Nachdem der Zufallsgenerator eine Zahl zwischen Null und Eins geliefert hat, wird das mit dieser Zufallszahl verknüpfte Element mit einer binären Suche gefunden.

Abbildung 6.1: Veranschaulichung der Elementbestimmung

Um eine gleichförmige Wahrscheinlichkeit sicherzustellen, werden die lokalen Koordinaten des Integrationspunktes durch Schießen in den Einheitswürfel gefunden. Der erste Treffer im eingeschriebenen Einheitstetraeder wird zur Berechnung des Integrals herangezogen. Für die Interpolation der Stromdichte innerhalb der Elemente werden quadratische Ansatzfunktionen verwendet.