Die Monte Carlo Methode ist sehr gebräuchlich zur Berechnung von
mehrfachen Integralen [113], da die Berechnungsprozedur einfach ist: Der Wert des Integrals
wird als Erwartungswert (EW) einer Zufallsvariablen dargestellt, und der EW
wird geschätzt durch Stichprobenmittelung zufälliger Stichproben.
Andere Vorteile der Monte Carlo Methode sind z.B. dass diese Art der
Integration für beliebig geformte Integrationsbereiche möglich ist. Man
umgibt dazu den Integrationsbereich mit einem n-dimensionalen Quader und
verwirft alle Zufallspunkte, die nicht in den Bereich fallen.
Fehlerabschätzungen sind auf einfache Weise durch Auswertung der
Stichprobenvarianz möglich. Fehlerabschätzungen sind sonst sehr zeitaufwendig,
da die Simpson- und die Gauß-Regel eine exponentiell mit der Dimension wachsende
Anzahl von Funktionsauswertungen erfordern.
Die Monte Carlo Methode weist einen relativ hohen Bedarf an Rechenzeit auf.
Die Suche nach dem betreffenden Element zu dem Zufallspunkt ist zeitaufwendig.
Um den Fehler zu reduzieren, muss die Funktion entsprechend oft ausgewertet
werden, wobei für jede Auswertung das betroffene Element
gefunden werden muss. Der Rechenaufwand verhält sich verkehrt proportional
zur Varianz des Monte Carlo Integrals. Die Konvergenz der Berechnungsprozedur kann
durch einige Varianzreduktionsschemata verbessert werden [140,141].
Die Bekanntesten sind:
Gewichtung der Stichproben: Es wird eine Dichtefunktion entsprechend der
zu erwarteten Beiträge vorgegeben. Regionen, korrespondierend zu großen Werten des Integranden, werden öfters
ausgewählt.
Geschichtete Stichproben: Hierbei wird der Integrationsbereich in
Teilintervalle unterteilt, in denen der Integrand nur wenig variiert; je
weniger der Integrand über dem Integrationsintervall variiert, umso kleiner
ist die Varianz des Monte Carlo Integrals. Die Idee ist ähnlich zu obengenannter,
aber die Reduktion wird durch Erhöhung der Stichproben in wichtigen
Teilintervallen erreicht und nicht durch Auswahl des globalen Optimums mittels
einer Dichtefunktion.
Kontrollierte Variation: Diese Technik beruht darauf, dass nicht ein
Parameter direkt geschätzt wird, sondern die Differenz zwischen der
Aufgabenstellung und einer analytischen Lösung betrachtet wird. |
Der Vorteil der hier verwendeten Implementierung besteht darin, dass trotz
Verwendung eines unstrukturierten Gitters das Element sehr schnell gefunden
wird. Dazu wird vorher gemäß der korrespondierenden
Wahrscheinlichkeitsfunktion das betreffende Element bestimmt, und dann erst
der Punkt innerhalb des Tetraeders. Zu diesem Zweck werden für jedes
leitfähige Segment zwei Felder angelegt. Im ersten ist das Volumen
jedes Elementes gespeichert. Die Summe aller Einträge ist auf eins normiert.
Im zweiten Feld ist bereits die Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnet für
jedes Leiterelement mittels Summation von allen Einträgen vom Beginn des
Feldes bis zum aktuellen Index. Abbildung 6.1 verdeutlicht dieses Verfahren.
Nachdem der Zufallsgenerator eine Zahl zwischen Null und Eins geliefert
hat, wird das mit dieser Zufallszahl verknüpfte Element mit einer binären
Suche gefunden.
Abbildung 6.1:
Veranschaulichung der
Elementbestimmung
![\begin{figure}
\psfrag{Elementindex} [bc]{\huge Elementindex}\psfrag{Wahrschei...
...ge Feld}
{\resizebox{0.99\textwidth}{!}{\includegraphics[{}]{hui}}}\end{figure}](img387.png) |
Um eine gleichförmige Wahrscheinlichkeit sicherzustellen, werden die lokalen
Koordinaten des Integrationspunktes durch Schießen in den Einheitswürfel
gefunden. Der erste Treffer im eingeschriebenen Einheitstetraeder wird zur
Berechnung des Integrals herangezogen. Für die Interpolation der Stromdichte
innerhalb der Elemente werden quadratische Ansatzfunktionen verwendet.
C. Harlander: Numerische Berechnung von Induktivitäten in dreidimensionalen Verdrahtungsstrukturen