6.2 Vergleich mit der Methode aus Kapitel 5

Am Beispiel von planaren Transformatoren werden wesentliche Charakteristika der Monte Carlo Methode und der Induktivitätsberechnung basierend auf Integrationsformeln für Tetraeder gezeigt.

Planare Transformatoren sind am besten geeignet für Vierport-Anwendungen, die Symmetrie erfordern. Sie werden für Schmalbandanwendungen benutzt, in denen die Kombination von guter Kopplung und einer hohen Selbstinduktivität gepaart mit kleinem Serienwiderstand erwünscht wird. Durch diesen Aufbau können die Kapazitäten minimiert und hohe Resonanzfrequenzen realisiert werden. Moderat große Kopplungsfaktoren $k={M}/\sqrt{L_p L_s}$ (Index

und

stehen für Primär- bzw. Sekundärkreis) werden auf Kosten von reduzierten Selbstinduktivitäten erzielt. Diese Kopplung kann mit dem Nachteil von höherem Serienwiderstand durch Reduzieren der Breite und der Schrittweite erhöht werden. Gestapelte Transformatoren (Primär- und Sekundärwindungen liegen übereinander) erzielen die höchste Kopplung $k \approx 0.9$ , sie haben allerdings den Nachteil einer hohen Port-zu-Port Kapazität, was zu einer niedrigen Resonanzfrequenz führt. In modernen mehrstufigen Prozessen kann diese Kapazität durch Erhöhen der Oxiddicke zwischen den Spiralen reduziert werden. Außerdem besteht die Möglichkeit, durch Verschieben der Zentren der gestapelten Transformatoren reduzierte Kopplung für reduzierte Kapazität einzutauschen [142,143].

Abbildung 6.2 und 6.3 zeigen die Stromdichteverteilung von zwei planaren Transformatoren. Diese Transformatoren bestehen aus zwei ineinander verwundenen Spiralen von jeweils drei bzw. fünf Windungen Metall mit 5 $\protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$ m Breite, einer Schrittweite von 15 $\protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$ m, der inneren Länge

(s. Abb. 6.2) vom 54 $\protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$ m und der Dicke von 1 $\protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$ m.

**Abbildung 6.2:** Verteilung der Stromdichte des planaren Transformators mit 3 Windungen
$\begin{figure} \psfrag{li}{{\Large$l_i$}} {\resizebox{0.61\textwidth}{!}{\includegraphics[{clip,angle=3}]{trans3}}}\end{figure}$

**Abbildung 6.3:** Verteilung der Stromdichte des planaren Transformators mit 5 Windungen
$\begin{figure}{\resizebox{0.78\textwidth}{!}{\includegraphics[{clip,angle=3}]{trans5}}}%\vss} \end{figure}$

In Tab. 6.1 sind sowohl die Simulationszeiten zur Ermittlung der Stromdichte bei Anwendung der Monte Carlo Methode, bzw. der Methode aus dem vorigen Kapitel [144], sowie die Werte der berechneten Induktivitäten angeführt. Für jeden Transformator wurden drei verschiedene Gitter erzeugt. Die Simulationen wurden auf einem Digital Alpha Computer (DEC600/333MHz) durchgeführt. Die Stichprobenzahl N war 1 Million. Die erste Spalte in der Tabelle bezieht alle Elemente der leitfähigen Segmente ein. Es wurden ausschließlich Tetraederelemente verwendet, auf denen quadratische Ansatzfunktionen zur Berechnung benutzt wurden. Die Simulationszeit für die Monte Carlo Methode ist nicht so stark von der Anzahl der Elemente (n) beeinflusst, weil der Rechenaufwand für die binäre Suche nur mit ln(n) wächst. Die einfache Berechnungsmethode für die Gegeninduktivität erfordert mit steigendem n beinahe die gleiche Zeit, was die Überlegenheit der Monte Carlo Methode unterstreicht. Der Kopplungsfaktor

beträgt für den ersten Transformator 0.63, und für den zweiten 0.75. Der Widerstand der Windungen beträgt 6.22 $\Omega$ für den ersten Transformator, und 9.75 $\Omega$ für den zweiten. In Tab. 6.2 sind die partiellen Kapazitäten der beiden Transformatoren aufgelistet.

**Tabelle 6.1:** Rechenzeit und Resultate von zwei planaren Transformatoren
${\small\hspace{\fill} \fbox{ \begin{minipage}{0.837\textwidth} \begin{tabular}{... ...&3.60&2.69&3.63\\ \hline \end{tabular}\end{minipage}}%fbox \hspace{\fill}\\ }$

**Tabelle 6.2:** Partielle Kapazitäten des planaren Transformators mit 3 (linke Zahlenspalte) bzw. 5 Windungen (rechte Zahlenspalte)
$\begin{center} \begin{tabular}{l l l} \hline &\rule[-1.8mm]{0pt}{2.3ex}$C_{ij}$... ...arkreis-Sekund''arkreis&1.68e-13 & 4.37e-13 \\ \hline \end{tabular}\end{center}$