1.3.3 Variationsmethode nach Schwinger

 Die Streuamplitude nach Schwinger [Sch47] beruht auf einem Variationsprinzip und ist definiert als

$$\begin{eqnarray}f^{\mathrm S} = - 2 \pi^2 \frac{\langle \Psi^{-} \vert U \vert \... ...\langle \Psi^{-} \vert U- U \, G^{+}\,U \,\vert\Psi^{+} \rangle } \end{eqnarray}$$ (1.47)

wobei die $\Phi_{\vec{k}}$ ebene Wellen darstellen. Wenn wir nun die unbekannten exakten Größen $\vert \Psi^{+}\rangle$ und $\langle \Psi^{-}\vert$ durch ebene Wellen ersetzen, erhalten wir

$$\begin{eqnarray} f^{\mathrm S}=f_{1}\, \frac{ f_{1} }{f_{1} -f_{2}} \end{eqnarray}$$ (1.48)

(1.48) für die Streuamplitude liefert oft bessere Resultate als die 2.Born-Streuamplitude f₂ [Kat51]. Unter bestimmten Voraussetzungen für das Potential kann jedoch gezeigt werden, daß $f^{\mathrm S}$ immer f₂ überlegen ist und eine untere Schranke für die exakte Streuamplitude liefert [Kat51,Kik54a,Kik54b].

Wir können nun den differentiellen Wirkungsquerschnitt mit Hilfe von (1.48) schreiben als

$$\left\vert f^{\mathrm S}\right\vert^2= f_{1}^2 \,\left( 1+ \frac{X}{1-X} \right)$$ (1.49)

Die Funktion X, die von f₁ und f₂ abhängt, ist definiert als

$$X(f_{1},f_{2})=2\,\frac{{\cal R}(f_{1}\cdot f_{2} ) }{{\vert ... ...}\right\vert}^2=2\,{\cal D}(w)-{{\cal D}(w)}^2-{{\cal E}(w)}^2$$ (1.50)

$\cal R$ stellt den Realteil einer im allgemeinen komplexen Funktion dar. Die reellen Funktionen $\cal D$ und $\cal E$ sind folgendermaßen definiert:

$$\begin{eqnarray}{\cal D}(w)&=&\frac{\overline{U_{0}}}{2} \, \frac{B+w^2 \,(3B+4)... ...4} \, \frac{1+w^2 \,(3B+4)}{\sqrt{B}(1+B)w}\,\log \frac{1+w}{1-w} \end{eqnarray}$$ (1.51)

mit

$$\begin{eqnarray}w&=&\frac{\sqrt{B}\overline{q}}{\sqrt{4 +4B +B{\overline{q}}^2}}... ...eta}\nonumber\\ \overline{U_{0}}&=& \frac{U_{0}}{\beta}\nonumber \end{eqnarray}$$ (1.52)

Für den normierten Impulsübertrag gilt: $\overline{q} \in[0,\sqrt{B}]\rightarrow w\in[0,\frac{B}{2+B}]$. Damit ist die eingeführte Variable w, die eine Funktion des Impulsübertrages und der Dotierung ist, immer kleiner als eins.

Der Impulswirkungsquerschnitt nach Schwinger lautet nun mit $u=\overline{q}^2$

$$\begin{eqnarray}\sigma_{\mathrm m}^{\mathrm S}=\frac{8\pi}{B^2}\int\limits_{0}^{... ...{\mathrm d}u=\sigma_{\mathrm m}^{\mathrm{B1}}+\sigma_{\mathrm{c}} \end{eqnarray}$$ (1.53)

Die Korrektur $\sigma_{\mathrm c}$ zum Born-Impulswirkungsquerschnitt erster Ordnung lautet

$$\begin{eqnarray} \sigma_{\mathrm c}=\frac{8\pi}{B^2}\int\limits_{0}^{B}\, u\,{\vert f_{1}(u)\vert}^2 \,\frac{X}{1-X}\,{\mathrm d}u \end{eqnarray}$$ (1.54)

Unglücklicherweise läßt sich das Integral in (1.54) nicht analytisch berechnen. Wir können jedoch den rationalen Ausdruck im Integranden um Null entwickeln. Damit erhalten wir

$$\begin{eqnarray} \frac{X(w)}{1-X(w)}=a_{1}(B)+a_{2}(B)\,w^2+a_{3}(B)\,w^4+ \cdots \end{eqnarray}$$ (1.55)

mit

$$\begin{eqnarray}a_{1}(B)&=&\frac{1}{\frac{1+B}{c}-1} \\ a_{2}(B)&=& \frac{\over... ...rline{U_{0}}\,\left(1-\frac{\overline{U_{0}}}{4} \right)\nonumber \end{eqnarray}$$ (1.56)

Damit lautet die Korrektur

$$\begin{eqnarray}\sigma_{\mathrm c}= \sigma_{\mathrm k}^{(1)} + \sigma_{\mathrm k... ...a_{1}\, \sigma_{\mathrm m}^{\mathrm{B1}}+\sigma_{\mathrm k}^{(2)} \end{eqnarray}$$ (1.57)

sodaß wir für den totalen Impulswirkungsquerschnitt nach Schwinger folgenden Ausdruck bis zweiter Ordnung erhalten:

$$\begin{eqnarray}\sigma_{S}= \sigma_{\mathrm m}^{\mathrm{B1}} \,\left[ 1+a_{1}\ri... ...m k}^{(2)}=\frac{1+B}{1+B-c}\,\sigma_{1}+\sigma_{\mathrm k}^{(2)} \end{eqnarray}$$ (1.58)

Die Korrektur zweiter Ordnung lautet

$$\begin{eqnarray}\sigma_{\mathrm k}^{(2)}&=& \frac{8\pi\overline{U_{0}}^2\,a_{2}}... ...(8+7B) \,\log \,(1+B)}{{(4+3B)}^2}+\frac{B}{(4+3B)(1+B)}\nonumber \end{eqnarray}$$ (1.59)