B Berechnung der treibenden Kraft aus der diskretisierten Stromgleichung

Der diskretisierte Strom I zwischen den Gitterpunkten i und j läßt sich mit Gleichung (3.39) in [18] folgendermaßen darstellen

$$\begin{eqnarray} I_{i,j}=-\frac{A_{i,j}}{d_{i,j}}\cdot s_b\cdot q \cdot D \cdot ... ...nu_j}{T_j}-\mathrm{B}(-\Lambda)\cdot \frac{\nu_i}{T_i}\right]\; . \end{eqnarray}$$ (10.1)

Das Argument der BERNOULLI-Funktion lautet dabei

$$\begin{eqnarray} \Lambda=\frac{\mathrm{ln}(T_j/T_i)}{T_j-T_i}\!\cdot\! \left(-\f... ...E_i)\right)-2\!\cdot\!(T_j-T_i)\right)\!+\mathrm{ln}(N_j/N_i)\; . \end{eqnarray}$$ (10.2)

Die in MINIMOS-NT implementierte Berechnung der treibenden Kraft auf einen Ladungsträger erfolgt mit Hilfe der lokalen Stromdichte

$$\begin{eqnarray} \vec{F}=\frac{\vec{J}}{s_b\cdot q\cdot \overline{\nu}\cdot \mu}... ...dot T_{i,j}\cdot\vec{J}}{s_b\cdot q^2\cdot \overline{\nu}\cdot D} \end{eqnarray}$$ (10.3)

Die Variable s_b gibt den Ladungsträgertyp an (Elektronen: $s_b\!=\!-1$, Löcher: $s_b\!=\!1$), T_i,j entspricht einer gemittelten Ladungsträgertemperatur zwischen den Gitterpunkten i und j. Die Größe $\overline{\nu}$ entspricht einer mittleren Konzentration zwischen diesen Gitterpunkten. Sie berechnet sich zu Gleichung (4.30) in [18]

$$\begin{eqnarray} \overline{\nu}=\frac{T_j-T_i}{\mathrm{ln}(T_j/T_i)}\cdot \frac{\nu_i}{T_i}\cdot\frac{\mathrm{B}(-\Lambda)}{\mathrm{B}(-\tilde{Y})} \end{eqnarray}$$ (10.4)

mit der Abkürzung

$$\begin{eqnarray} \tilde{Y}=\Lambda + \mathrm{ln}\left(\frac{T_j \cdot \nu_i}{T_i \cdot \nu_j}\right)\; . \end{eqnarray}$$ (10.5)

Umformung von (B.4) ergibt folgenden Zusammenhang

$$\begin{eqnarray} \frac{\nu_i}{T_i}\cdot \mathrm{B}(-\Lambda)=\frac{\overline{\nu... ...thrm{mit} \qquad T_{i,j}=\frac{T_j-T_i}{\mathrm{ln}(T_j/T_i)}\; . \end{eqnarray}$$ (10.6)

Die gemittelte Konzentration $\overline{\nu}$ der gespiegelten Formulierung lautet

$$\begin{eqnarray} \overline{\nu}=\frac{T_j-T_i}{\mathrm{ln}(T_j/T_i)}\cdot \frac{... ...j}{T_j}\cdot\frac{\mathrm{B}(\Lambda)}{\mathrm{B}(\tilde{Y})}\; . \end{eqnarray}$$ (10.7)

Umformung von (B.7) ergibt folgenden Zusammenhang

$$\begin{eqnarray} \frac{\nu_j}{T_j}\cdot \mathrm{B}(\Lambda)=\frac{\overline{\nu}... ...thrm{mit} \qquad T_{i,j}=\frac{T_j-T_i}{\mathrm{ln}(T_j/T_i)}\; . \end{eqnarray}$$ (10.8)

Die Äquivalenz von (B.7) und (B.4) kann man zeigen, wenn man die Gleichungen folgendermaßen anschreibt

$$\begin{eqnarray} \frac{\nu_i}{T_i}\cdot\frac{\mathrm{B}(-\Lambda)}{\mathrm{B}(-\... ...\nu_j}{T_j}\cdot\frac{\mathrm{B}(\Lambda)}{\mathrm{B}(\tilde{Y})} \end{eqnarray}$$ (10.9)

und folgende Identität verwendet

$$\begin{eqnarray} \mathrm{B}(\Lambda)/\mathrm{B}(-\Lambda)=e^{-\Lambda}\; . \end{eqnarray}$$ (10.10)

Setzt man (B.4, B.8) in (B.1) ein, so erhält man den Strom I, der von der Box i zur Box j fließt und nun durch eine gemittelte Konzentration beschrieben wird

$$\begin{eqnarray} I_{i,j}=-\frac{A_{i,j}}{d_{i,j}}\cdot s_b\cdot q \cdot D \cdot ... ...thrm{B}(-\tilde{Y})\cdot\frac{\overline{\nu}}{T_{i,j}}\right]\; . \end{eqnarray}$$ (10.11)

Berücksichtigt man weiters

$$\begin{eqnarray} \mathrm{B}(x)-\mathrm{B}(-x)=\frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{-x}{\mathrm{e}^{-x}-1}=-x\; , \end{eqnarray}$$ (10.12)

dann kann (B.11) angeschrieben werden als

$$\begin{eqnarray} I_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{d_{i,j}}\cdot s_b\cdot q \cdot D \cdot\overline{\nu} \cdot \tilde{Y}\; . \end{eqnarray}$$ (10.13)

Mit Hilfe von (B.3) kann man die treibende Kraft zwischen den Gitterpunkten i und j aus der Stromdichte (B.13) anschreiben als

$$\begin{eqnarray} F_{i,j}(s_b)=\frac{1}{d_{i,j}}\cdot\frac{k_B}{q} \cdot \frac{T_j-T_i}{\mathrm{ln}(T_j/T_i)}\cdot \tilde{Y}(s_b)\; . \end{eqnarray}$$ (10.14)

Die treibende Kraft (B.14) wirkt immer in Richtung der Verbindungslinie der Simulationspunkte i und j. Ihre Richtung wird durch das Vorzeichen von (B.14) bestimmt.