A Berechnung des Rotors der hydrodynamischen treibenden Kraft

Die Bewegungsrichtung, die die Ladungsträger im Bauteil annehmen, zeigt in die Richtung ihrer treibenden Kraft $\vec{F}$.Die mittlere Driftgeschwindigkeit $\vec{v}$ berechnet sich zu

$$\begin{eqnarray} \vec{v}=\mu(T_c, T_L, N_{tot.},..)\cdot \vec{F}\; . \end{eqnarray}$$ (9.1)

Die Beweglichkeit $\mu$ ist eine skalare Größe, wobei gilt: $0\!<\!\mu\! <\! \infty$.Es können somit genau dann Stromwirbel im Bauteil auftreten, wenn

$$\begin{eqnarray} \mathrm{rot}\vec{F}\neq 0 \end{eqnarray}$$ (9.2)

gilt. Die treibende Kraft $\vec{F}$ kann man mit (2.29) für konstante Bandkanten und Zustandsdichten, d.h. bei Vernachlässigen von Selbsterwärmungseffekten, für Elektronen (s_b=-1) anschreiben als

$$\begin{eqnarray} \vec{F}( \psi,n,T_n)=\mathrm{grad}\; \psi-\frac{k_B}{q}\cdot\frac{N_c}{n}\cdot \mathrm{grad}\frac{n\cdot T_n}{N_c}\; . \end{eqnarray}$$ (9.3)

Der Rotor von $\vec{F}$ ist definiert als

$$\begin{eqnarray} \mathrm{rot}\vec{F}=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial F_z}{... ...\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\end{array}\right)\; . \end{eqnarray}$$ (9.4)

Die Berechnung der x-Komponente ergibt (analog y- und z-Komponente)

$$\begin{eqnarray} \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}... ...artial}{\partial y}\left(\frac{n\cdot T_n}{N_c}\right)\right)\; . \end{eqnarray}$$ (9.5)

Die Anwendung der Produktregel und das Vertauschen der partiellen Ableitungen

$$\begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2}{\partial y \partial x} \end{eqnarray}$$ (9.6)

liefert mit dem Zusammenhang

$$\begin{eqnarray} \frac{k_B}{q}\cdot \frac{N_c}{n}\cdot \frac{\partial}{\partial ... ...al}{\partial z}\left(\mathrm{ln}\left(\frac{n}{N_c}\right)\right) \end{eqnarray}$$ (9.7)

schließlich folgenden Ausdruck für die x-Komponente

$$\begin{eqnarray} \left(\mathrm{rot}\vec{F}\right)_x=\frac{\partial}{\partial y}\... ...frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{k_B\cdot T_n}{q}\right)\; . \end{eqnarray}$$ (9.8)

Sowohl die Ladungsträgerkonzentrationen als auch die Trägertemperaturen können in Abhängigkeit der verwendeten Modelle willkürliche Werte annehmen. Aus diesem Grund heben sich die Summanden von (A.8) im Normalfall nicht auf. Dies bedeutet, daß Stromwirbel im Bauteil auftreten können.

Bei zweidimensionalen Simulationen, in denen die xy-Ebene als Simulationsebene festgelegt ist, verschwinden alle partiellen Ableitungen nach der z-Komponente. Der Rotor der treibenden Kraft vereinfacht sich zu

$$\begin{eqnarray} \mathrm{rot}\vec{F}=\left(\begin{array}{c} 0\\ \vspace*{-0.2cm}... ...\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\end{array}\right)\; . \end{eqnarray}$$ (9.9)

Im Drift-Diffusionsmodell kann bei konstanter Gittertemperatur mit (2.36) die treibende Kraft als negativer Gradient eines Quasifermipotentials angegeben werden. In diesem Fall ist $\vec{F}$ wirbelfrei, da folgende Beziehung gilt

$$\begin{eqnarray} \mathrm{rot}\vec{F}=-\nabla\times(\mathrm{grad}\; \varphi)=0\; . \end{eqnarray}$$ (9.10)