3.2 Bandstruktur  

  Bloch zeigte, daß für beliebige periodische Potentiale die Wellenfunktion der Kristallelektronen beschrieben wird durch

$$\psi_i(\vec{k},\vec{r}) = u_i(\vec{r})\, \exp(j\,\mbox{${\vec{k} \cdot \vec{r}}$})\,.$$ (3.4)

Die sogenannten Blochfunktionen sind also das Produkt einer ebenen Welle und einer Funktion u_i, welche dieselbe Periodizität wie das Potential selbst aufweist, das heißt $u_i(\vec{r}) = u_i(\vec{r}+\vec{R})$.Die Schrödingergleichung  kann also mittels Fouriertransformation unter Verwendung der atomaren Potentiale gelöst werden und liefert die Energieeigenwerte $E_i(\vec{k})$, die Bandstruktur des Kristalls. Es gibt viele Verfahren zur numerischen Berechnung der Bandstruktur [79], zu den bekanntesten zählen die Pseudopotentialmethoden  [39]. Folgende Punkte sind zu beobachten:

• Die Beschreibung der Bandstruktur ist eindeutig in der ersten BZ.
• Es gibt verbotene Energiebereiche, die sogenannte Bandlücke (``band gap'')  zwischen den Bandkanten (``band edges'') .
• Alle kubischen HL zeigen ähnliche Struktur:
  Energieentartete Minima (Täler) des Leitungsbands und Maxima des Valenzbands in den Punkten mit hoher Symmetrie der BZ ($\varGamma$, L, X). Die Bandstruktur wird üblicherweise entlang verschiedener Richtungen in der BZ abgebildet. Dies ist für einen indirekten (GaP) und direkten HL (GaAs) in den Abbildungen 3.4 und  3.5 dargestellt.

  

Abbildung 3.4: Bandstruktur von GaP

  

Abbildung 3.5: Bandstruktur von GaAs

Die Ladungsträger (Elektronen) bewegen sich im Kristall quasi wie freie Teilchen mit dem Impuls $\hbar\,\vec{k}$ (``nearly free electron'') mit einer richtungsabhängigen effektiven Masse . Der Tensor der inversen effektiven Masse ist definiert als

$$(m^{-1})_{ij}= {1\over \hbar^2}\; {\partial^2 E \over \partial k_i\,\partial k_j}\,.$$ (3.5)

Die Beschreibung der Minima im LB  erfolgt in der effektiven Masse Approximation (EMA) im Hauptachsensystem der Täler durch

$$\begin{eqnarray} E(\vec{k}) & = & {\hbar^2\,k^2 \over 2\,m}, \\ E(\vec{k}) & ... ... {m_{\mathrm{t}}^{}}} + {k_z^2 \over {m_{\mathrm{l}}^{}}}\right), \end{eqnarray}$$ (3.6)

wobei die Energie vom Talminimum gemessen wird. Die Flächen konstanter Energie sind Kugeln oder Rotationsellipsoide mit verschiedener longitudinaler und transversaler Masse ${m_{\mathrm{l}}^{}}$ und ${m_{\mathrm{t}}^{}}$. Das Leitungsband wird modelliert durch 

2.5cm 0cm
• [$\varGamma$ Minimum:] ein isotropes Tal bei $\varGamma= \langle 000 \rangle$; dies ist das absolute LB Minimum bei direkten HL wie GaAs, InAs, InP;
• [X Minimum:] man unterscheidet zwei Arten, nämlich sechs ellipsoidale Täler entlang $\Delta$ beziehungsweise drei Täler im $X= \langle 100 \rangle$ Punkt. Die X Minima sind die absoluten LB Minima bei indirekten HL wie Si, AlAs, GaP;
• [L Minimum:] vier ellipsoidale Täler im $L= \langle\frac{1}{2} \frac{1}{2}\frac{1}{2}\rangle$ Punkt; dies ist das absolute LB Minimum bei indirekten HL wie Ge.

Die Maxima im Valenzband  haben nicht diese einfache Symmetrie und werden üblicherweise durch das sogenannte ``warped band'' Modell [165]  beschrieben,

$$E(\vec{k}) = {\hbar^2\,k^2 \over m} \left(1 - g(\theta,\phi)\right),$$ (3.7)

das nicht die Definition eines effektive Masse Tensors erlaubt. Das Valenzband wird modelliert durch

• ein schweres (``heavy hole'', hh)  und ein leichtes (``light hole'', lh)  Löcherband entartet bei $\varGamma$;
• ein isotropes (``split-off'', so) Band bei $\varGamma$, das um ${\varDelta_0}$ unter dem VB Maximum liegt .

Der energetische Gültigkeitsbereich von (3.6)-(3.8) kann durch einen Nichtparabolizitätsparameter  $\alpha^{}$ ausgedehnt werden,

$$E\,(1+\alpha^{}\,E) = \gamma(\vec{k})\,,$$ (3.8)

wobei $\gamma(\vec{k})$ eine der obigen Bandformfunktionen $E(\vec{k})$ ist. Für das VB ist diese Beschreibung trotzdem keine ausreichende Verbesserung, man muß daher aufwendigere Reihenentwicklungen (``spherical harmonics'') verwenden [114].