3.2.1 Statistik der Ladungsträger

Next: 3.3 Phononen Up: 3.2 Bandstruktur Previous: 3.2 Bandstruktur

3.2.1 Statistik der Ladungsträger

Aus der Heisenbergschen Unschärferelation folgt, daß die Anzahl der besetzbaren Zustände N pro Volumen im k-Raum und Ortsraum konstant ist,

$\begin{displaymath} \mathrm{d}N(\vec{k}) = 2\left(\frac{1}{2\,\pi}\right)^3\,\mathrm{d}^3\vec{k}\,\mathrm{d}^3\vec{r}. \end{displaymath}$

(3.9)

Der Faktor 2 berücksichtigt, daß beide Spinrichtungen pro Zustand möglich sind. Die Anzahl der Zustände pro Volumen und Energie definiert die Zustandsdichte (``density of states'', DOS):

$\begin{displaymath} g(E) = \frac{\mathrm{d}N(E(\vec{k}))}{\mathrm{d}^3\vec{r}\,... ... = \frac{k(E)^2}{\pi^2}\,\frac{\mathrm{d}k(E)}{\mathrm{d}E}\,. \end{displaymath}$

(3.10)

Für die nichtparabolische Bandstruktur eines LB Minimums ergibt sich

$\begin{displaymath} g(E) = \frac{Z}{2\,\pi^2}\left(\frac{2\,{m_{\mathrm{d}}^{}}... ...ac{3}{2}} \sqrt{E\,(1+\alpha^{}\,E)}\,(1+2\,\alpha^{}\,E)\,. \end{displaymath}$

(3.11)

${m_{\mathrm{d}}^{}}$ ist die Zustandsdichte-effektive Masse (``DOS mass''). Für ellipsoidale Minima ist

$\begin{displaymath} {m_{\mathrm{d}}^{}} = \left({m_{l}^{}}\,{m_{t}^{}}^2\right)^\frac{1}{3}. \end{displaymath}$

(3.12)

Z ist die Anzahl der äquivalenten, also energieentarteten, Täler im betreffenden Minimum.

Die Besetzungswahrscheinlichkeit der Zustände gehorcht im Gleichgewichtsfall der
Fermi-Dirac Verteilung

$\begin{displaymath}f(E) = \frac{1}{\exp\!\left(\displaystyle\frac{E-{E_{\mathrm{F}}}}{k_{\mathrm{B}}\,T}\right)+1}\,, \end{displaymath}$

(3.13)

die bei nichtentarteten HL ( $E_c-{E_{\mathrm{F}}}\geq 3\,k_{\mathrm{B}}\,T$ ) durch die Maxwell-Boltzmann Verteilung

$\begin{displaymath}f(E) = \exp\!\left(\frac{{E_{\mathrm{F}}}-E}{k_{\mathrm{B}}\,T}\right) \end{displaymath}$

(3.14)

angenähert wird.

Die Ladungsträgerkonzentration, das ist die Anzahl der tatsächlich besetzten Zustände pro Volumen, kann mittels der Zustandsdichte von einer Summe über die Zustände im k-Raum in ein Energieintegral übergeführt werden. Die Elektronenkonzentration n ist beispielsweise

$\begin{displaymath} n= \sum_{\vec{k}} \frac{\mathrm{d}N(E(\vec{k}))\,f(E(\vec{k}))}{\mathrm{d}^3\vec{r}} = \int g(E)\,f(E)\;\mathrm{d}E\,. \end{displaymath}$

(3.15)

Aus einer Reihenentwicklung für g(E) nach (3.12) folgt für ein LB Minimum i

$\begin{displaymath} n_i({\eta_{\mathrm{F}}}) = N_{\mathrm{c}}^{i}\,\left({\cal ... ...k_{\mathrm{B}}\,T\;{\cal F}_{3/2}({\eta_{\mathrm{F}}})\right). \end{displaymath}$

(3.16)

Der Vorfaktor $N_{\mathrm{c}}^{i}$ ist die effektive Zustandsdichte (``effective DOS'') des Minimums,

$\begin{displaymath} N_{\mathrm{c}}^{i} = 2\,Z_i\left(\frac{{m_{\mathrm{d}}^{i}}\,k_{\mathrm{B}}\,T}{2\,\pi\,\hbar^2}\right)^\frac{3}{2}, \end{displaymath}$

(3.17)

${\eta_{\mathrm{F}}}$ ist die auf das Bandminimum ${E_{\mathrm{}}^{i}}$ bezogene reduzierte Fermienergie,

$\begin{displaymath} {\eta_{\mathrm{F}}}= \frac{{E_{\mathrm{F}}}-{E_{\mathrm{}}^{i}}}{k_{\mathrm{B}}\,T}\,, \end{displaymath}$

(3.18)

und ${\cal F}_{j}$ bezeichnet das modifizierte Fermi-Dirac Integral der Ordnung j,

$\begin{displaymath} {\cal F}_{j}(x) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_0^\infty \frac{t^j}{1+\exp(t-x)}\;\mathrm{d}t\,. \end{displaymath}$

(3.19)

Abseits der Entartung ( $x\ll 0$ ) gilt ${\cal F}_{j}(x)\approx\exp(x)$ und man erhält das Ergebnis für die Boltzmann Verteilung. Im Fall der Mehrtalbandstruktur ist über alle Minima zu summieren. Bezieht man die Fermienergie wie üblich auf die Leitungsbandkante ${E_{\mathrm{c}}}= \min\{{E_{\mathrm{}}^{i}}\}$ , so ist

$\begin{displaymath} n({\eta_{\mathrm{F}}}) = \sum_i n_i({\eta_{\mathrm{F}}}-\xi... ...ac{{E_{\mathrm{}}^{i}}-{E_{\mathrm{c}}}}{k_{\mathrm{B}}\,T}\,. \end{displaymath}$

(3.20)

Für Löcher gelten die Formeln analog, lediglich die Zustandsdichtemasse wird aufgrund der Degeneration der hh und lh Bänder anders berechnet:

$\begin{displaymath} {m_{\mathrm{d}}^{p}} = \left({m_{hh}^{\frac{3}{2}}}+{m_{lh}^{\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{2}{3}}. \end{displaymath}$

(3.21)

Next: 3.3 Phononen Up: 3.2 Bandstruktur Previous: 3.2 Bandstruktur

Christian Koepf
1997-11-11