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Aus der Heisenbergschen Unschärferelation folgt, daß die Anzahl der besetzbaren Zustände N pro Volumen im k-Raum und Ortsraum konstant ist,
![\begin{displaymath}
\mathrm{d}N(\vec{k}) = 2\left(\frac{1}{2\,\pi}\right)^3\,\mathrm{d}^3\vec{k}\,\mathrm{d}^3\vec{r}.
\end{displaymath}](img77.gif) |
(3.9) |
Der Faktor 2 berücksichtigt, daß beide Spinrichtungen pro Zustand möglich sind.
Die Anzahl der Zustände pro Volumen und Energie definiert die Zustandsdichte (``density of states'', DOS):
![\begin{displaymath}
g(E) = \frac{\mathrm{d}N(E(\vec{k}))}{\mathrm{d}^3\vec{r}\,...
... = \frac{k(E)^2}{\pi^2}\,\frac{\mathrm{d}k(E)}{\mathrm{d}E}\,.
\end{displaymath}](img78.gif) |
(3.10) |
Für die nichtparabolische Bandstruktur eines LB Minimums ergibt sich
![\begin{displaymath}
g(E) = \frac{Z}{2\,\pi^2}\left(\frac{2\,{m_{\mathrm{d}}^{}}...
...ac{3}{2}}
\sqrt{E\,(1+\alpha^{}\,E)}\,(1+2\,\alpha^{}\,E)\,.
\end{displaymath}](img79.gif) |
(3.11) |
ist die Zustandsdichte-effektive Masse (``DOS mass''). Für ellipsoidale Minima ist
![\begin{displaymath}
{m_{\mathrm{d}}^{}} = \left({m_{l}^{}}\,{m_{t}^{}}^2\right)^\frac{1}{3}.
\end{displaymath}](img81.gif) |
(3.12) |
Z ist die Anzahl der äquivalenten, also energieentarteten, Täler im betreffenden Minimum.
Die Besetzungswahrscheinlichkeit der Zustände gehorcht im Gleichgewichtsfall der
Fermi-Dirac Verteilung
![\begin{displaymath}f(E) = \frac{1}{\exp\!\left(\displaystyle\frac{E-{E_{\mathrm{F}}}}{k_{\mathrm{B}}\,T}\right)+1}\,,
\end{displaymath}](img82.gif) |
(3.13) |
die bei nichtentarteten HL (
) durch die
Maxwell-Boltzmann Verteilung
![\begin{displaymath}f(E) = \exp\!\left(\frac{{E_{\mathrm{F}}}-E}{k_{\mathrm{B}}\,T}\right)
\end{displaymath}](img84.gif) |
(3.14) |
angenähert wird.
Die Ladungsträgerkonzentration, das ist die Anzahl der tatsächlich besetzten Zustände pro Volumen, kann mittels der Zustandsdichte von einer Summe über die Zustände im k-Raum in ein Energieintegral übergeführt werden.
Die Elektronenkonzentration n ist beispielsweise
![\begin{displaymath}
n= \sum_{\vec{k}} \frac{\mathrm{d}N(E(\vec{k}))\,f(E(\vec{k}))}{\mathrm{d}^3\vec{r}} = \int g(E)\,f(E)\;\mathrm{d}E\,.
\end{displaymath}](img85.gif) |
(3.15) |
Aus einer Reihenentwicklung für g(E) nach (3.12) folgt für ein LB Minimum i
![\begin{displaymath}
n_i({\eta_{\mathrm{F}}}) = N_{\mathrm{c}}^{i}\,\left({\cal ...
...k_{\mathrm{B}}\,T\;{\cal F}_{3/2}({\eta_{\mathrm{F}}})\right).
\end{displaymath}](img86.gif) |
(3.16) |
Der Vorfaktor
ist die effektive Zustandsdichte (``effective DOS'') des Minimums,
![\begin{displaymath}
N_{\mathrm{c}}^{i} = 2\,Z_i\left(\frac{{m_{\mathrm{d}}^{i}}\,k_{\mathrm{B}}\,T}{2\,\pi\,\hbar^2}\right)^\frac{3}{2},
\end{displaymath}](img88.gif) |
(3.17) |
ist die auf das Bandminimum
bezogene reduzierte Fermienergie,
![\begin{displaymath}
{\eta_{\mathrm{F}}}= \frac{{E_{\mathrm{F}}}-{E_{\mathrm{}}^{i}}}{k_{\mathrm{B}}\,T}\,,
\end{displaymath}](img91.gif) |
(3.18) |
und
bezeichnet das modifizierte Fermi-Dirac Integral der Ordnung j,
![\begin{displaymath}
{\cal F}_{j}(x) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_0^\infty \frac{t^j}{1+\exp(t-x)}\;\mathrm{d}t\,.
\end{displaymath}](img93.gif) |
(3.19) |
Abseits der Entartung (
) gilt
und man erhält das Ergebnis für die Boltzmann Verteilung.
Im Fall der Mehrtalbandstruktur ist über alle Minima zu summieren. Bezieht man die Fermienergie wie üblich auf die Leitungsbandkante
, so ist
![\begin{displaymath}
n({\eta_{\mathrm{F}}}) = \sum_i n_i({\eta_{\mathrm{F}}}-\xi...
...ac{{E_{\mathrm{}}^{i}}-{E_{\mathrm{c}}}}{k_{\mathrm{B}}\,T}\,.
\end{displaymath}](img97.gif) |
(3.20) |
Für Löcher gelten die Formeln analog, lediglich die Zustandsdichtemasse wird aufgrund der Degeneration der hh und lh Bänder anders berechnet:
![\begin{displaymath}
{m_{\mathrm{d}}^{p}} = \left({m_{hh}^{\frac{3}{2}}}+{m_{lh}^{\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{2}{3}}.
\end{displaymath}](img98.gif) |
(3.21) |
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Christian Koepf
1997-11-11