3.2.1 Statistik der Ladungsträger  

  Aus der Heisenbergschen Unschärferelation folgt, daß die Anzahl der besetzbaren Zustände N pro Volumen im k-Raum und Ortsraum konstant ist,

$$\mathrm{d}N(\vec{k}) = 2\left(\frac{1}{2\,\pi}\right)^3\,\mathrm{d}^3\vec{k}\,\mathrm{d}^3\vec{r}.$$ (3.9)

Der Faktor 2 berücksichtigt, daß beide Spinrichtungen pro Zustand möglich sind. Die Anzahl der Zustände pro Volumen und Energie definiert die Zustandsdichte  (``density of states'', DOS):

$$g(E) = \frac{\mathrm{d}N(E(\vec{k}))}{\mathrm{d}^3\vec{r}\,... ... = \frac{k(E)^2}{\pi^2}\,\frac{\mathrm{d}k(E)}{\mathrm{d}E}\,.$$ (3.10)

Für die nichtparabolische Bandstruktur eines LB Minimums ergibt sich

$$g(E) = \frac{Z}{2\,\pi^2}\left(\frac{2\,{m_{\mathrm{d}}^{}}... ...ac{3}{2}} \sqrt{E\,(1+\alpha^{}\,E)}\,(1+2\,\alpha^{}\,E)\,.$$ (3.11)

${m_{\mathrm{d}}^{}}$ ist die Zustandsdichte-effektive Masse (``DOS mass''). Für ellipsoidale Minima ist

$${m_{\mathrm{d}}^{}} = \left({m_{l}^{}}\,{m_{t}^{}}^2\right)^\frac{1}{3}.$$ (3.12)

Z ist die Anzahl der äquivalenten, also energieentarteten, Täler im betreffenden Minimum.

Die Besetzungswahrscheinlichkeit der Zustände gehorcht im Gleichgewichtsfall der
Fermi-Dirac Verteilung 

$$f(E) = \frac{1}{\exp\!\left(\displaystyle\frac{E-{E_{\mathrm{F}}}}{k_{\mathrm{B}}\,T}\right)+1}\,,$$ (3.13)

die bei nichtentarteten HL ($E_c-{E_{\mathrm{F}}}\geq 3\,k_{\mathrm{B}}\,T$) durch die Maxwell-Boltzmann  Verteilung

$$f(E) = \exp\!\left(\frac{{E_{\mathrm{F}}}-E}{k_{\mathrm{B}}\,T}\right)$$ (3.14)

angenähert wird.

Die Ladungsträgerkonzentration, das ist die Anzahl der tatsächlich besetzten Zustände pro Volumen, kann mittels der Zustandsdichte von einer Summe über die Zustände im k-Raum in ein Energieintegral übergeführt werden. Die Elektronenkonzentration n ist beispielsweise

$$n= \sum_{\vec{k}} \frac{\mathrm{d}N(E(\vec{k}))\,f(E(\vec{k}))}{\mathrm{d}^3\vec{r}} = \int g(E)\,f(E)\;\mathrm{d}E\,.$$ (3.15)

Aus einer Reihenentwicklung für g(E) nach (3.12) folgt für ein LB Minimum i

$$n_i({\eta_{\mathrm{F}}}) = N_{\mathrm{c}}^{i}\,\left({\cal ... ...k_{\mathrm{B}}\,T\;{\cal F}_{3/2}({\eta_{\mathrm{F}}})\right).$$ (3.16)

Der Vorfaktor $N_{\mathrm{c}}^{i}$ ist die effektive Zustandsdichte  (``effective DOS'') des Minimums,

$$N_{\mathrm{c}}^{i} = 2\,Z_i\left(\frac{{m_{\mathrm{d}}^{i}}\,k_{\mathrm{B}}\,T}{2\,\pi\,\hbar^2}\right)^\frac{3}{2},$$ (3.17)

${\eta_{\mathrm{F}}}$ ist die auf das Bandminimum ${E_{\mathrm{}}^{i}}$ bezogene reduzierte Fermienergie,

$${\eta_{\mathrm{F}}}= \frac{{E_{\mathrm{F}}}-{E_{\mathrm{}}^{i}}}{k_{\mathrm{B}}\,T}\,,$$ (3.18)

und ${\cal F}_{j}$ bezeichnet das modifizierte Fermi-Dirac Integral  der Ordnung j,

$${\cal F}_{j}(x) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_0^\infty \frac{t^j}{1+\exp(t-x)}\;\mathrm{d}t\,.$$ (3.19)

Abseits der Entartung ($x\ll 0$) gilt ${\cal F}_{j}(x)\approx\exp(x)$ und man erhält das Ergebnis für die Boltzmann Verteilung. Im Fall der Mehrtalbandstruktur ist über alle Minima zu summieren. Bezieht man die Fermienergie wie üblich auf die Leitungsbandkante ${E_{\mathrm{c}}}= \min\{{E_{\mathrm{}}^{i}}\}$, so ist

$$n({\eta_{\mathrm{F}}}) = \sum_i n_i({\eta_{\mathrm{F}}}-\xi... ...ac{{E_{\mathrm{}}^{i}}-{E_{\mathrm{c}}}}{k_{\mathrm{B}}\,T}\,.$$ (3.20)

Für Löcher gelten die Formeln analog, lediglich die Zustandsdichtemasse wird aufgrund der Degeneration der hh und lh Bänder anders berechnet:

$${m_{\mathrm{d}}^{p}} = \left({m_{hh}^{\frac{3}{2}}}+{m_{lh}^{\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{2}{3}}.$$ (3.21)