6.2.3 Verbesserung der Methode

Durch die Zeitableitung in der Diffusionsgleichung kommt es je nach Größe des Zeitschrittes zu einer mehr oder weniger starken Entkopplung der Werte an benachbarten Knoten, sodaß die hohe Dynamik im Wertebereich der Lösung eine typische Eigenschaft der Diffusion ist.

Als Hauptquelle für die schlechten Ergebnisse der besprochenen Fehlerabschätzung wurde jedoch genau dieser hohe Dynamikbereich der Lösungsgröße identifiziert. Dieser bewirkt eine Überschwemmung des Gebietes mit niedrigen Werten durch die Diskretisierungsfehler aus den Gebieten hoher Werte bei der Approximierung der stückweise konstanten Gradienten. Es ist daher naheliegend, diese Beeinflussung abzuschwächen.

Die eigentliche ``treibende Kraft'' für die Diffusion ist der Gradient des chemischen Potentials

$$\Phi = \nabla\log u,$$ (6.12)

sodaß der Partikelfluß auch als

$$\vec{J}=Du \Phi = Du \nabla\log u \quad (= D\nabla u)$$ (6.13)

angeschrieben werden kann. Anstatt der linearen Approximierung für den Fluß entsprechend Gl. 6.7 wird eine Approximierung für den Gradienten des chemischen Potentials entsprechend

$$\int_\Omega{\mathbf {N}^T (\mathbf {\Phi^*} - \mathbf {\hat \Phi}) \,{\mathrm d}\Omega} = 0$$ (6.14)

verwendet, wobei $\mathbf {\Phi^*}$ für die stückweise lineare und $\mathbf {\hat \Phi}$ für die stückweise konstante Näherung des chemischen Potentials steht. Berechnet man weiters die Approximierung für den Fluß gemäß

$$\mathbf {J}^* = D\mathbf {\overline u} \mathbf {\Phi^*},$$ (6.15)

erhält man eine Näherung, die trotz der hohen Dynamik im Wertebereich von $\overline u$ gute Ergebnisse bereits mit sehr wenigen Gauß-Seidel-Iterationen liefert.

Beachtet man, daß

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2} \mathrm{e}^{g(x)} = \mathrm{e... ...x)\right)^2 + {\frac{\partial{^2}}{\partial{x^2}}} g(x)\right)$$ (6.16)

gilt, setzt für $g(x)=\log(u(x))$ und ersetzt ${\frac{\partial{}}{\partial{x}}}g(x)$ durch $(\frac{1}{u}\frac{\Delta u}{\Delta x} - \mathbf {\Phi^*})$, erhält man mit

$$\Delta{\frac{\partial{^2 u}}{\partial{x^2}}} = u\left(u\frac... ...\frac{1}{u}\frac{\Delta u}{\Delta x} - \mathbf {\Phi^*}\right)$$ (6.17)

den Fehler in der zweiten Ableitung von u. Diese Fehlerabschätzung liefert auch bei hoher Dynamik im Wertebereich von u gute Ergebnisse.