Zur Steuerung der lokalen Gitterdichte kann Gl. 6.17 herangezogen
werden. Allerdings stellt sich die Frage, wie nun der abgeschätzte Diskretisierungsfehler zu
bewerten ist. Einerseits wirkt sich der Diskretisierungsfehler an einem bestimmten Punkt direkt
auf die Genauigkeit der Näherungslösung an diesem Punkt aus, da ja
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(6.18) |
Betrachtet man das Verhältnis von anhand eines charakteristischen
Funktionsverlaufes wie etwa
erhält man
. Das bedeutet
also, daß prinzipiell in der Peripherie der Verteilung die relative Änderung des
Funktionswertes aufgrund der Diffusion wesentlich stärker ausfällt als in Bereichen hoher
Konzentration. Dies führt dazu, daß sich naturgemäß auch die Diskretisierungsfehler dort
wesentlich stärker auswirken und in diesem Bereich eine höhere Auflösung notwendig wird. In
Bereichen hoher Konzentrationen erlaubt die relative Bewertung von Gl. 6.17 jedoch
sehr grobe Gitter. Wenngleich dies aufgrund der Diskretisierungsfehler der Differentialgleichung
auch zulässig ist, so benötigt man bei hohen Konzentrationen jedoch eine gewisse
Mindestauflösung zur Dosiserhaltung. Der Dosisfehler innerhalb eines Elementes mit linearen
Ansatzfunktionen läßt sich anhand
Weiters treten Schwierigkeiten bei sehr abrupten Änderungen von auf. Es kann an diesen
Stellen die zweite Ableitung praktisch unbegrenzt groß werden, womit auch der
Diskretisierungsfehler sehr groß wird. Verwendet man Gl. 6.19 zur Bewertung der
Fehlerabschätzung, resultiert dies in einer extremen lokalen Verfeinerung des Gitters zur
entsprechenden Auflösung der abrupten Änderung. Aufgrund der im allgemeinen glättenden
Eigenschaft der Diffusionsgleichung verflachen sich derart abrupte Änderungen sehr schnell,
sobald die Diffusionslänge über der räumlichen Ausdehnung des Sprunges liegt. Innerhalb eines
Zeitschrittes bedeutet dies also, daß die Auflösung nicht feiner zu sein braucht, als dies der
Diffusionslänge entspricht. Diese Eigenschaft kann erreicht werden, indem der
Diskretisierungsfehler basierend auf der Näherungslösung am Ende des Zeitschrittes berechnet
wird. Bei kleinen Zeitschritten greift diese Methode jedoch nicht ausreichend, sodaß es
trotzdem zu unnötig starken Verfeinerungen kommen kann. Bewertet man die Fehlerabschätzung
jedoch relativ zur berechneten zweiten Ableitung der Näherungslösung
, werden die
ebengenannten Schwierigkeiten verhindert, da die zweite Ableitung ja immer in der
Größenordnung des Fehlers liegt.
Aufgrund dieser Erkenntnisse wird
Die Erweiterung der Fehlerabschätzung Gl. 6.17 und Gl. 6.21 auf
multidimensionale Probleme ist relativ einfach. Da der betrachtete Differentialoperator keine
gemischten Ableitungen aufweist, muß lediglich als Vektorgröße betrachtet werden. Aus
wird dann
, und anstatt
muß
verwendet werden.
Abb. 6.4 zeigt die Adaptierung des Gitters an eine zweidimensionale Gaußverteilung
. Die Bereiche hoher Konzentration werden aufgrund des Dosisfehlers
verfeinert, während an der Peripherie der Verteilung der Fehler in der zweiten Ableitung
relativ zum Funktionswert die Verfeinerung bewirkt.
Abb. 6.5 zeigt die adaptive Verfeinerung des in Abb. 7.9 dargestellten
Initialgitters. In diesem Beispiel wurde das Gitter anhand des Diskretisierungsfehlers bei
Auflösung der dreidimensionalen Gaußverteilung adaptiert.
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