Die Poissongleichung und die Kontinuitätsgleichungen für Elektronen und Löcher lassen sich im Rahmen der makroskopischen Elektrodynamik aus der dritten und der ersten Maxwellgleichung herleiten (vgl. [76] Kap. 1). Diese drei Gleichungen sind auch bei einer allgemeineren Betrachtung des Ladungsträgertransports, die über die Drift-Diffusionsnäherung hinausgeht, gültig.
Die folgende Herleitung der Trägertransportgleichungen und der funktionalen
Form der zugehörigen Parameter (Beweglichkeit 
und Temperaturspannung
) folgt im wesentlichen der von Hänsch [25] vorgeschlagenen
Methode. Eine detailliertere Diskussion dieser Ableitung findet man in
[28] und [43]. Die Trägertransportgleichung wird im
folgenden für Elektronen abgeleitet und gilt mit trivialen Änderungen auch
für Löcher.
Um einen Zusammenhang zwischen der Stromdichte, dem elektrostatischen Potential 
und der Ladungsträgerdichte
zu erhalten, betrachten wir nun die Verteilung der Ladungsträger
im Phasenraum, der aus drei Ortskoordinaten 
, drei Impulskoordinaten
und der Zeit 
gebildet wird. Zur Beschreibung eines Kollektivs von
Ladungsträgern dient die Verteilungsfunktion 
, die die
Wahrscheinlichkeit der Besetzung eines Zustands mit bestimmtem Ort und
bestimmtem Impuls zur Zeit im Phasenraum angibt. Die totale
Ableitung der Verteilungsfunktion 
nach der Zeit ergibt
die Boltzmanngleichung (3.6). Diese
beschreibt die ``örtliche'' (Ort und Impuls ) und zeitliche
Änderung der Verteilungsfunktion in Abhängigkeit von äußeren und inneren
Kräften. Äußere Kräfte werden in unserem Fall nur durch das elektrische
Feld 
hervorgerufen. Die inneren Kräfte umfassen
sämtliche Streuprozesse und Interaktionen zwischen den Ladungsträgern
untereinander
und den Ladungsträgern mit dem Kristallgitter. Während die äußere Kraft
in einfacher Weise durch 
ausgedrückt werden kann,
können die inneren Kräfte nur mehr mit statistischen Mitteln erfaßt werden.
Die Größen 
und 
auf der rechten Seite
von Gleichung (3.6) beschreiben die Wahrscheinlichkeit, daß ein
Teilchen aus dem Zustand in das Volumselement 
hinein, bzw.
aus dem Volumselement herausgestreut wird. Mit 
wird die
Gruppengeschwindigkeit 
bezeichnet.
Um Aussagen über die Verteilungsfunktion zu erhalten, kann
(3.6) selbst gelöst werden.
Dies ist praktisch nur mit mithilfe von Monte-Carlo-Methoden
[35] möglich, wobei die Trajektorien einer großen Zahl von
Teilchen im mikroskopischen Bereich verfolgt und daraus die
makroskopischen Größen berechnet werden. Diese Methode erfordert einen
enormen Aufwand an Computerresourcen und ist daher für den täglichen Einsatz
in der Entwicklung nur in speziellen Fällen geeignet.
Ein anderer Weg besteht darin, nicht die
exakte Form der Verteilungsfunktion , sondern ihre makroskopischen
Mittelwerte (Momente), die den interessierenden physikalischen
Größen entsprechen, zu berechnen.
Die ersten vier Momente der Verteilungsfunktion sind die Teilchendichte
(3.7), die Teilchenstromdichte 
(3.8), die Energiedichte 
(3.9) und die Energiestromdichte 
(3.10), wobei
die Bandenergie bezeichnet.
Multipliziert man nun die Boltzmanngleichung (3.6) mit der jeweiligen Größe und integriert man über den Impulsraum, so erhält man Erhaltungsgleichungen für die vier Momente. Ohne Information über die genaue Form der Verteilungsfunktion ist es nicht möglich, die Streuintegrale auf der rechten Seite von (3.6) direkt auszuwerten. Es ist jedoch möglich, die Streuintegrale durch einen einfachen Relaxationszeitansatz der Form
zu approximieren. 
steht hier stellvertretend für die jeweils
zu multiplizierende Größe in (3.7) - (3.10).
Die Relaxationszeit 
ist im allgemeinen eine von den Momenten
abhängige Größe.
Nach Einführung einer verallgemeinerten Temperaturspannung
bzw. einer verallgemeinerten Ladungsträgertemperatur
, die der mittleren Teilchenenergie proportional ist,
und der Beweglichkeit
erhält man aus der Boltzmanngleichung folgende vier Gleichungen:
Die Impulsrelaxationszeit 
und die Energierelaxationszeit
werden
im allgemeinen von den vier Momenten , , und
abhängig sein. Da ihre funktionale Form unbekannt ist, bietet sich nun die
Möglichkeit, durch eine geeignete Wahl dieser Abhängigkeiten eine geschlossene
Lösung des Gleichungssystems anzugeben. Durch eine
geeignete Wahl ihrer Werte kann die Lösung an experimentelle Ergebnisse
angepaßt werden.
Die Impulsrelaxationszeit
läßt sich nun in der folgenden funktionalen Form
darstellen [28]:
Die Koeffizienten 
und 
sind dabei nicht mehr von den Momenten
abhängig. Die Energierelaxationszeit wird ebenfalls von den Momenten
unabhängig angenommen.
Nach Einführung der auf die Ladungsträger einwirkenden treibenden Kraft
[26]
erhält man mithilfe von (3.15) und (3.17) die Abhängigkeit der Impulsrelaxationszeit von der treibenden Kraft und der mittleren Teilchenenergie.
Gleichung (3.21) liefert unter Verwendung von (3.13)
die Abhängigkeit der Beweglichkeit von der treibenden Kraft und
der mittleren Teilchenenergie,
wobei die momentenunabhängigen Koeffizienten und aus (3.21)
durch die ebenfalls momentenunabhängigen Koeffizienten 
und 
ersetzt wurden, die - wie unten gezeigt wird - leicht aus Grenzwertbetrachtungen
für konstantes elektrisches Feld und homogene Dotierung bestimmt werden
können.
Nach Vernachlässigung der zeitlichen Ableitungen in (3.14) und (3.16) steht nun mit (3.23) - (3.28) ein in den ersten vier Momenten der Boltzmanngleichung geschlossener Gleichungssatz zur Verfügung, aus den in weiterer Folge Erweiterungen zum klassischen Drift-Diffusionsansatz (3.4) - (3.5) gewonnen werden können.
Ziel der weiteren Vorgangsweise ist es, das Gleichungssystem (3.23) - (3.28) so weit zu reduzieren, daß einerseits die Gleichungsstruktur des klassischen Drift-Diffusionsansatzes (3.1) - (3.5) erhalten bleibt, andererseits aber auch die zusätzliche Information, die in der Energieerhaltungsgleichung (3.25) und der Energiestromgleichung (3.26) steckt, mitberücksichtigt wird.
