4.1 Grundlagen

Die im vorhergehenden Kapitel aufgestellten partiellen Differentialgleichungen und Randbedingungen können allgemein angeschrieben werden mit $u$ als der unbekannten Lösung:

$$\nabla(\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u)=-f\;,$$ (4.1)

$$u\vert _{\Gamma _1}=g\;,$$ (4.2)

$$\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u\cdot\mathchoice{\mbox{\... ...criptstyle n$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle n$}}\vert _{\Gamma _2}=q\;,$$ (4.3)

$$\Gamma _1\cup\Gamma _2=\Gamma (\Omega)\;,$$ (4.4)

Dabei ist $\makebox{\boldmath $\underline m$}(x,y,z)$ ein symmetrischer positiv definiter $3\!\times\!3$-Tensor, $f(x,y,z)$ wird Quellendichtefunktion genannt. Sowohl $f$ als auch $\makebox{\boldmath $\underline m$}$ sollen auf $\Omega$ zumindest stückweise stetig und begrenzt sein. Mit (4.2) und (4.3) wird die Einhaltung der Dirichlet- bzw. Neumann-Bedingungen gefordert.

Zur näherungsweisen Lösung der Gleichung wird nun das Simulationsgebiet $\Omega$ in $M$ (geometrisch möglichst einfache) Elemente $E_i$ unterteilt (z.B. Tetraeder, Würfel, Dreiecke), sodass einerseits zwischen den Elementen keine Leerräume vorhanden sind, andererseits sich die Elemente aber auch nicht überlappen:

$$\bigcup_{i=1}^{M} E_i = \Omega \qquad \forall i\neq j\!:\, \mathit{Int}(E_i) \cap \mathit{Int}(E_j) = \emptyset.$$ (4.5)

Dabei wird mit $\mathit{Int}(E_i)$ die Menge aller Punkte des Elements $E_i$, ausgenommen jener die am Rand des Elementes liegen, bezeichnet.

Weiters wird Randkonformität benachbarter Elemente gefordert. Darunter versteht man, dass an jeder Fläche eine Elements im Inneren des Gitters genau ein Nachbarelement angrenzt.

Man versucht nun, die gesuchte Funktion $u$ durch eine Näherungslösung $\tilde u$ zu approximieren, die folgendermaßen aufgebaut ist:

$$\tilde u(x,y,z)=\sum_{j=1}^Nu_j N_j(x,y,z)=\{u\}^T\{N\}.$$ (4.6)

Die Summierung erfolgt über alle Knotenpunkte des Gitters.^4.1Dabei wird mit $u_j$ der jeweilige Funktionswert am Knoten mit der Nummer $j$ bezeichnet und $N_j(x,y,z)$ sind die sogenannten Ansatzfunktionen. Diese sind im Prinzip frei wählbar, müssen aber folgende Anforderung erfüllen:

• Die Ansatzfunktionen müssen Interpolationseigenschaft besitzen. Darunter versteht man, dass jede Ansatzfunktion $N_j$ auf dem Knoten $j$ (mit den Koordinaten $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle p$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle p... ...{\mbox{\boldmath $\scriptstyle p$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle p$}}_j$) einen Wert von genau 1 hat und 0 auf allen anderen Gitterknoten ( $\forall i,j=1\ldots N\vert N_j(\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle p$}}... ...th $\scriptstyle p$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle p$}}_i)=\delta_{i,j}$).
• Sie müssen derart aufgebaut sein, dass jede Lösung $u(x,y,z)$ der partiellen Differentialgleichung mit einem Fehler, der gegen Null geht, darstellbar ist, indem man $N$ gegen $\infty$ gehen lässt.

In der Praxis verwendet man dazu meist lineare Funktionen oder Polynome niedriger Ordnung. Die Nummerierung der Knoten soll nun so erfolgen, dass die Knoten an Dirichlet-Rändern (wo also die Lösung $u$ bereits bekannt ist) am Ende gereiht werden. Jene Knoten, für die die Lösung berechnet werden muss, erhalten deshalb die Indizes $j=1\ldots N_A$, die $N_D$ Knoten an Dirichlet-Rändern werden mit $j=N_A+1\ldots N$ nummeriert ($N_A+N_D=N$).

Damit wäre das Grundgerüst der Finite Elemente Methode gegeben, man braucht jetzt ,,nur mehr`` die unbekannten Koeffizienten $u_i$ zu bestimmen. Dazu gibt es zwei verschieden Ansätze, nämlich das Verfahren von Ritz (oder auch Rayleigh-Ritz-Methode genannt) und die Methode der gewichteten Residuen.

Fußnoten

... Gitters.^4.1

Bei der FEM ist man nicht auf den hier getroffenen knotenbasierenden Ansatz beschränkt. Es können beispielsweise auch Ansätze über die Gitterkanten formuliert werden [116].