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Die im vorhergehenden Kapitel aufgestellten partiellen Differentialgleichungen
und Randbedingungen können allgemein angeschrieben werden mit
als der
unbekannten Lösung:
Dabei ist
ein symmetrischer positiv
definiter
-Tensor,
wird Quellendichtefunktion genannt.
Sowohl
als auch
sollen auf
zumindest stückweise stetig
und begrenzt sein.
Mit (4.2) und (4.3) wird die Einhaltung der Dirichlet-
bzw. Neumann-Bedingungen gefordert.
Zur näherungsweisen Lösung der Gleichung wird nun
das Simulationsgebiet
in
(geometrisch möglichst einfache)
Elemente
unterteilt (z.B. Tetraeder, Würfel, Dreiecke),
sodass einerseits zwischen den Elementen keine
Leerräume vorhanden sind,
andererseits sich die Elemente aber auch nicht überlappen:
und |
(4.5) |
Dabei wird mit
die Menge aller Punkte des Elements
,
ausgenommen jener die am Rand des Elementes liegen, bezeichnet.
Weiters wird Randkonformität benachbarter Elemente gefordert.
Darunter versteht man, dass an jeder Fläche eine Elements im Inneren des
Gitters genau ein Nachbarelement angrenzt.
Man versucht nun, die gesuchte Funktion
durch eine Näherungslösung
zu approximieren, die folgendermaßen aufgebaut ist:
 |
(4.6) |
Die Summierung erfolgt über alle Knotenpunkte des Gitters.4.1Dabei wird mit
der jeweilige Funktionswert am
Knoten mit der Nummer
bezeichnet
und
sind die sogenannten Ansatzfunktionen.
Diese sind im Prinzip frei wählbar, müssen aber folgende
Anforderung erfüllen:
- Die Ansatzfunktionen müssen Interpolationseigenschaft besitzen.
Darunter versteht man, dass jede Ansatzfunktion
auf dem
Knoten
(mit den Koordinaten
)
einen Wert von genau 1 hat und 0 auf allen anderen Gitterknoten
(
).
- Sie müssen derart aufgebaut sein,
dass jede Lösung
der partiellen Differentialgleichung
mit einem Fehler, der gegen Null geht, darstellbar ist, indem
man
gegen
gehen lässt.
In der Praxis verwendet man dazu meist lineare Funktionen oder Polynome
niedriger Ordnung.
Die Nummerierung der Knoten soll nun so erfolgen, dass die
Knoten an Dirichlet-Rändern (wo also die Lösung
bereits bekannt ist)
am Ende gereiht werden.
Jene Knoten, für die die Lösung berechnet werden muss, erhalten
deshalb die Indizes
,
die
Knoten an Dirichlet-Rändern werden mit
nummeriert (
).
Damit wäre das Grundgerüst der Finite Elemente Methode gegeben,
man braucht jetzt ,,nur mehr`` die unbekannten Koeffizienten
zu bestimmen.
Dazu gibt es zwei verschieden Ansätze, nämlich
das Verfahren von Ritz (oder auch Rayleigh-Ritz-Methode genannt) und
die Methode der gewichteten Residuen.
Fußnoten
- ... Gitters.4.1
-
Bei der FEM ist man nicht auf den hier getroffenen knotenbasierenden
Ansatz beschränkt. Es können beispielsweise auch Ansätze über
die Gitterkanten formuliert werden [116].
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R. Sabelka: Dreidimensionale Finite Elemente Simulation von Verdrahtungsstrukturen auf Integrierten Schaltungen