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Über einen Variationsansatz erhält man eine integrale Formulierung der
partiellen Differentialgleichung4.2.
Man erhält die Lösung von (4.1) unter den
Randbedingungen (4.2) und (4.3), indem man
das Funktional
![$\displaystyle F(u)=-\frac12\int_{\Omega}\!(\nabla u)\makebox{\boldmath$\underli...
...+\oint_{\Gamma _2}\!qu\,\textrm{d}{A}\;,\qquad\frac{\partial{}}{\partial{u}}F=0$](img199.png) |
(4.7) |
stationär werden lässt unter der Nebenbedingung
![$\displaystyle u\vert _{\Gamma _1}=g,$](img200.png) |
(4.8) |
die der Randbedingung (4.2) entspricht.
Gegeben sei ein Funktional
mit
, wobei angenommen wird,
dass
die Lösung ist, die das Funktional stationär macht,
sei eine beliebige stetige Funktion und
ein skalarer Faktor.
Damit
der Dirichlet-Bedingung (4.8) genügt, muss
![$\displaystyle v\vert _{\Gamma _1}=0$](img205.png) |
(4.9) |
gelten.
Somit lautet das Funktional:
![$\displaystyle F(u+tv)=-\frac12\int_{\Omega}\!(\nabla u+t\nabla v)\makebox{\bold...
...{\Omega}\!fu+tfv\,\textrm{d}\Omega +\oint_{\Gamma _2}\!qu+tqv\,\textrm{d}{A}\;.$](img206.png) |
(4.10) |
Den stationären Punkt findet man nun durch Ableitung nach dem Faktor
.
![$\displaystyle \frac{\partial{F}}{\partial{t}}=\int_{\Omega}\![-(\nabla v)\makeb...
...ne m$}( \nabla v)+fv]\,\textrm{d}\Omega +\oint_{\Gamma _2}\!qv\,\textrm{d}{A}=0$](img207.png) |
(4.11) |
Mit
hat man mit
den stationären Punkt erreicht.
Unter Berücksichtigung von
![$\displaystyle \nabla(v\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u)=(\nabla v)\mak...
...h$\underline m$}(\nabla u) + v\nabla(\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u)$](img209.png) |
(4.12) |
und dem Gauß'schen Integralsatz erhält man
![$\displaystyle -\oint_{\Gamma }\!v\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u \cdo...
... m$}\nabla u)+vf]\,\textrm{d}\Omega +\oint_{\Gamma _2}\!qv\,\textrm{d}{A} =0\;.$](img210.png) |
(4.13) |
Da
auf
verschwindet folgt
![$\displaystyle \int_{\Omega}\!v[\nabla(\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u...
...criptstyle n$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle n$}}-q)\,\textrm{d}{A}=0\;.$](img212.png) |
(4.14) |
Obige Gleichung ist für beliebiges
gültig und es muss deshalb gemäß dem
Fundamentallemma der Variationsrechnung
![$\displaystyle \nabla(\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u)=-f$](img213.png) |
(4.15) |
auf dem Gebiet
und
![$\displaystyle \makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u\cdot\mathchoice{\mbox{\...
...} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle n$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle n$}}=q$](img214.png) |
(4.16) |
am Rand
gelten.
Die Einhaltung der Dirichlet-Bedingung wurde ja bereits in
(4.8) gefordert, es handelt sich dabei um eine
wesentliche Randbedingung, die bereits im Ansatz erfüllt sein muss.
Nach Ritz findet man eine Näherungslösung
, indem man das
Funktional (4.7) für
stationär werden lässt,
wobei man alle Ableitungen nach den
unbekannten Koeffizienten
(
) Null setzt.
![$\displaystyle \forall i=1\ldots N_A: \quad\frac{\partial{F(\tilde u)}}{\partial{u_i}}=0$](img217.png) |
(4.17) |
Das Bilden der Ableitungen und die Integration wird elementweise
durchgeführt und kann oft sogar analytisch vorgenommen werden.
Man erhält ein Gleichungssystem der Ordnung
, aus dem sich die
Unbekannten
berechnen lassen.
Fußnoten
- ... Differentialgleichung4.2
- Die Variationsformulierung stammt
ursprünglich aus der klassischen Mechanik (Lagrange Formalismus).
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R. Sabelka: Dreidimensionale Finite Elemente Simulation von Verdrahtungsstrukturen auf Integrierten Schaltungen