4.2 Das Verfahren von Ritz

Über einen Variationsansatz erhält man eine integrale Formulierung der partiellen Differentialgleichung^4.2. Man erhält die Lösung von (4.1) unter den Randbedingungen (4.2) und (4.3), indem man das Funktional

$$F(u)=-\frac12\int_{\Omega}\!(\nabla u)\makebox{\boldmath$\underli... ...+\oint_{\Gamma _2}\!qu\,\textrm{d}{A}\;,\qquad\frac{\partial{}}{\partial{u}}F=0$$ (4.7)

stationär werden lässt unter der Nebenbedingung

$$u\vert _{\Gamma _1}=g,$$ (4.8)

die der Randbedingung (4.2) entspricht.

Beweis:

Gegeben sei ein Funktional $F(w)$ mit $w=u+tv$, wobei angenommen wird, dass $u$ die Lösung ist, die das Funktional stationär macht, $v$ sei eine beliebige stetige Funktion und $t$ ein skalarer Faktor. Damit $F(w)$ der Dirichlet-Bedingung (4.8) genügt, muss

$$v\vert _{\Gamma _1}=0$$ (4.9)

gelten. Somit lautet das Funktional:

$$F(u+tv)=-\frac12\int_{\Omega}\!(\nabla u+t\nabla v)\makebox{\bold... ...{\Omega}\!fu+tfv\,\textrm{d}\Omega +\oint_{\Gamma _2}\!qu+tqv\,\textrm{d}{A}\;.$$ (4.10)

Den stationären Punkt findet man nun durch Ableitung nach dem Faktor $t$.

$$\frac{\partial{F}}{\partial{t}}=\int_{\Omega}\![-(\nabla v)\makeb... ...ne m$}( \nabla v)+fv]\,\textrm{d}\Omega +\oint_{\Gamma _2}\!qv\,\textrm{d}{A}=0$$ (4.11)

Mit $t=0$ hat man mit $w=u$ den stationären Punkt erreicht. Unter Berücksichtigung von

$$\nabla(v\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u)=(\nabla v)\mak... ...h$\underline m$}(\nabla u) + v\nabla(\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u)$$ (4.12)

und dem Gauß'schen Integralsatz erhält man

$$-\oint_{\Gamma }\!v\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u \cdo... ... m$}\nabla u)+vf]\,\textrm{d}\Omega +\oint_{\Gamma _2}\!qv\,\textrm{d}{A} =0\;.$$ (4.13)

Da $v$ auf $\Gamma _1$ verschwindet folgt

$$\int_{\Omega}\!v[\nabla(\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u... ...criptstyle n$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle n$}}-q)\,\textrm{d}{A}=0\;.$$ (4.14)

Obige Gleichung ist für beliebiges $v$ gültig und es muss deshalb gemäß dem Fundamentallemma der Variationsrechnung

$$\nabla(\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u)=-f$$ (4.15)

auf dem Gebiet $\Omega$ und

$$\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u\cdot\mathchoice{\mbox{\... ...} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle n$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle n$}}=q$$ (4.16)

am Rand $\Gamma _2$ gelten. Die Einhaltung der Dirichlet-Bedingung wurde ja bereits in (4.8) gefordert, es handelt sich dabei um eine wesentliche Randbedingung, die bereits im Ansatz erfüllt sein muss.

Nach Ritz findet man eine Näherungslösung $\tilde u$, indem man das Funktional (4.7) für $\tilde u$ stationär werden lässt, wobei man alle Ableitungen nach den unbekannten Koeffizienten $u_i$ ( $i=1\ldots N_A$) Null setzt.

$$\forall i=1\ldots N_A: \quad\frac{\partial{F(\tilde u)}}{\partial{u_i}}=0$$ (4.17)

Das Bilden der Ableitungen und die Integration wird elementweise durchgeführt und kann oft sogar analytisch vorgenommen werden. Man erhält ein Gleichungssystem der Ordnung $N_A$, aus dem sich die Unbekannten $u_i$ berechnen lassen.

Fußnoten

... Differentialgleichung^4.2

Die Variationsformulierung stammt ursprünglich aus der klassischen Mechanik (Lagrange Formalismus).