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4.2 Das Verfahren von Ritz

Über einen Variationsansatz erhält man eine integrale Formulierung der partiellen Differentialgleichung4.2. Man erhält die Lösung von (4.1) unter den Randbedingungen (4.2) und (4.3), indem man das Funktional

$\displaystyle F(u)=-\frac12\int_{\Omega}\!(\nabla u)\makebox{\boldmath$\underli... ...+\oint_{\Gamma _2}\!qu\,\textrm{d}{A}\;,\qquad\frac{\partial{}}{\partial{u}}F=0$ (4.7)

stationär werden lässt unter der Nebenbedingung

$\displaystyle u\vert _{\Gamma _1}=g,$ (4.8)

die der Randbedingung (4.2) entspricht.

Beweis:

Gegeben sei ein Funktional $ F(w)$ mit $ w=u+tv$, wobei angenommen wird, dass $ u$ die Lösung ist, die das Funktional stationär macht, $ v$ sei eine beliebige stetige Funktion und $ t$ ein skalarer Faktor. Damit $ F(w)$ der Dirichlet-Bedingung (4.8) genügt, muss

$\displaystyle v\vert _{\Gamma _1}=0$ (4.9)

gelten. Somit lautet das Funktional:

$\displaystyle F(u+tv)=-\frac12\int_{\Omega}\!(\nabla u+t\nabla v)\makebox{\bold... ...{\Omega}\!fu+tfv\,\textrm{d}\Omega +\oint_{\Gamma _2}\!qu+tqv\,\textrm{d}{A}\;.$ (4.10)

Den stationären Punkt findet man nun durch Ableitung nach dem Faktor $ t$.

$\displaystyle \frac{\partial{F}}{\partial{t}}=\int_{\Omega}\![-(\nabla v)\makeb... ...ne m$}( \nabla v)+fv]\,\textrm{d}\Omega +\oint_{\Gamma _2}\!qv\,\textrm{d}{A}=0$ (4.11)

Mit $ t=0$ hat man mit $ w=u$ den stationären Punkt erreicht. Unter Berücksichtigung von

$\displaystyle \nabla(v\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u)=(\nabla v)\mak... ...h$\underline m$}(\nabla u) + v\nabla(\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u)$ (4.12)

und dem Gauß'schen Integralsatz erhält man

$\displaystyle -\oint_{\Gamma }\!v\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u \cdo... ... m$}\nabla u)+vf]\,\textrm{d}\Omega +\oint_{\Gamma _2}\!qv\,\textrm{d}{A} =0\;.$ (4.13)

Da $ v$ auf $ \Gamma _1$ verschwindet folgt

$\displaystyle \int_{\Omega}\!v[\nabla(\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u... ...criptstyle n$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle n$}}-q)\,\textrm{d}{A}=0\;.$ (4.14)

Obige Gleichung ist für beliebiges $ v$ gültig und es muss deshalb gemäß dem Fundamentallemma der Variationsrechnung

$\displaystyle \nabla(\makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u)=-f$ (4.15)

auf dem Gebiet $ \Omega$ und

$\displaystyle \makebox{\boldmath$\underline m$}\nabla u\cdot\mathchoice{\mbox{\... ...} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle n$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle n$}}=q$ (4.16)

am Rand $ \Gamma _2$ gelten. Die Einhaltung der Dirichlet-Bedingung wurde ja bereits in (4.8) gefordert, es handelt sich dabei um eine wesentliche Randbedingung, die bereits im Ansatz erfüllt sein muss.


Nach Ritz findet man eine Näherungslösung $ \tilde u$, indem man das Funktional (4.7) für $ \tilde u$ stationär werden lässt, wobei man alle Ableitungen nach den unbekannten Koeffizienten $ u_i$ ( $ i=1\ldots N_A$) Null setzt.

$\displaystyle \forall i=1\ldots N_A: \quad\frac{\partial{F(\tilde u)}}{\partial{u_i}}=0$ (4.17)

Das Bilden der Ableitungen und die Integration wird elementweise durchgeführt und kann oft sogar analytisch vorgenommen werden. Man erhält ein Gleichungssystem der Ordnung $ N_A$, aus dem sich die Unbekannten $ u_i$ berechnen lassen.


Fußnoten

... Differentialgleichung4.2
Die Variationsformulierung stammt ursprünglich aus der klassischen Mechanik (Lagrange Formalismus).
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R. Sabelka: Dreidimensionale Finite Elemente Simulation von Verdrahtungsstrukturen auf Integrierten Schaltungen