7.1 Thermische Simulation von Aluminium-Leitern

Die hier simulierte Struktur ist in Abb. 7.1 im Querschnitt dargestellt. Es handelt sich dabei um eine lange gerade Leitung aus einer Legierung von Aluminium mit 5% Kupfer, die mit einem zeitlich konstanten Strom belastet wird. Es soll dabei die durch die elektrische Verlustleistung entstehende Erwärmung untersucht und simulierte mit gemessenen Daten verglichen werden [149].

Dies Gesamtlänge der Leitungen ist [500] $\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}$m. Es wurden Proben mit unterschiedlichen Leiterbreiten gefertigt, nämlich [0.5] $\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}$m, [0.95] $\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}$m, [2] $\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}$m und [3] $\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}$m. Links und rechts der mittleren Leitung befinden sich jeweils zwei stromlose Dummy-Leitungen (nur eine der beiden ist in Abb. 7.1 dargestellt) mit einer Breite von [1.5] $\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}$m in einem Abstand von je [0.5] $\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}$m.

Abbildung 7.1: Querschnitt durch die Teststruktur mit drei Leitungen aus einer Aluminium-Kupfer(5%)-Legierung: Nur die mittlere Leitung ist stromdurchflossen.

Um auch den Einfluss der Passivierungsschicht auf das thermische Verhalten zu untersuchen, wurden die Proben sowohl ohne als auch mit einer [700]nm dicken SiO$_2$-Passivierung (in Abb. 7.1 nicht dargestellt) experimentell gemessen und simuliert. Die bei der Simulation verwendeten Materialparameter sind in Tab. 7.1 angeführt.

Tabelle 7.1: Bei den Simulationen verwendete Materialparameter

Material	$\rho [\makebox{$\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}\Omega$cm}]$	$\alpha$ [1]	$\gamma_T$ [ $\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{mK}}$]
AlCu	3.0	0.0042	238.0
Ti	60.0	0.0041	15.0
TiN	600.0	0.0041	10.0
W	10.0	0.0038	140.0
Si			84.0
SiO$_2$			1.4
Luft			0.023

Sowohl bei den experimentellen Untersuchungen als auch in der Simulation wurde die mittlere Leitung mit einem Strom $I$ von 5 bis [150]mA belastet. Die Unterseite des Substrats ist direkt auf einer Metallplatte mit Raumtemperatur (24$^\circ$C) montiert und wurde in der Simulation durch eine Dirichlet-Bedingung modelliert.

Bei den Messungen wurde die mittlere Temperatur der Leitung indirekt über die an der Leitung anliegenden Spannung $U$ gemessen. Da sich der Widerstand der Leitung mit der Temperatur verändert, kann die Leitertemperatur folgendermaßen ermittelt werden

$$T=T_0+\frac{1}{\alpha}\left(\frac{U}{R_0I}-1\right)\;,$$ (7.1)

wobei $T_0$ die Referenztemperatur von $24^\circ$C ist und $R_0$ der Widerstand der Leitung bei dieser Temperatur.

Obwohl das Si-Substrat ein sehr guter Wärmeleiter ist und direkt auf einer Metallplatte mit konstanter Temperatur angebracht ist, ergibt sich aufgrund der verhältnismäßig großen Dicke ein nicht zu vernachlässigender Wärmewiderstand. Das Substrat muss deshalb in die Simulation mit einbezogen werden. Aufgrund der Symmetrie reicht es aber aus, lediglich die Hälfte der Struktur zu berechnen.

Abbildung 7.2: Temperaturverteilung am Querschnitt durch das komplette Simulationsgebiet (Farbskala siehe folgende Abbildung). Die Beschriftungen an den Isothermenlinien sind Prozentangaben bezogen auf das Temperaturmaximum. Die Knicke in den Isolinien sind durch das relativ grobe Gitter im Substrat verursacht. Aufgrund der Symmetrie wurde die Simulation nur für die rechte Hälfte durchgeführt.

In Abb. 7.2 ist die Temperatur auf dem gesamten Simulationsgebiet dargestellt. Die (halbe) Al-Leitung befindet sich (kaum erkennbar) in der linken oberen Ecke. Man erkennt hier, dass die Erwämung weit in das Substrat hineinreicht und deshalb auch das Simulationsgebiet derartig groß gewählt werden musste. Würde man beispielweise die Abmessungen des Simulationsbereiches auf die Hälfte reduzieren, würde der untere Rand die 5%-Isothermenlinie schneiden und ein um etwa 5% größerer Simulationsfehler wäre zu erwarten.

Die Oberfläche der Teststruktur ist direkt der Umgebungsluft ausgesetzt. In der Simulation ist eine solche Randbedingung schwierig zu modellieren, da in Gasen Konvektion als dominierender Wärmetransportmechanismus vorherrscht. Konvektion kommt entweder durch eine extern verursachte Luftströmung zustande (z.B. Gebläse) oder durch Erwärmung. Da im Experiment die Teststruktur keiner externen Luftströmung ausgesetzt und in waagrechter Position montiert ist, kann man davon ausgehen, dass die Luftbewegung an der Oberfläche sehr gering ist und deshalb vernachlässigt werden kann. Diese Annahme wird durch die Messdaten, die einen quadratischen Anstieg der Temperatur mit dem Strom aufweisen, bestätigt. Im Falle thermischer Konvektion müssten Abweichungen von diesem quadratischen Verlauf im oberen Temperaturbereich erkennbar werden, was hier nicht der Fall ist.

In der Simulation ist deshalb ein einfaches Modell für den oberen Rand ausreichend (hier eine [1] $\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}$m starke Schicht aus Luft).

Vergrößerte Ausschnitte des Bereiches um die Al-Leitung sind in Abb. 7.3 zu sehen. Man erkennt hier, dass die Temperatur über den Querschnitt der aktiven Leitung annähernd konstant ist und deshalb auch die Annahme einer konstanten mittleren Temperatur für die Widerstandsberechnung gerechtfertigt ist.

Abbildung 7.3: Temperaturverteilung im Detail: (a) zeigt die nähere Umgebung um die Leitung, in (b) wurde noch weiter vergrößert, sodass man anhand der Gitterlinien die (halbe) aktive Leitung sowie einen Teil der benachbarten Dummy-Leitung erkennen kann.

Die in Tab. 7.1 angegebene thermische Leitfähigkeit gilt für reines SiO$_2$ in kristalliner Struktur. Da das mit den hier verwendeten Depositionsprozessen aufgebrachte SiO$_2$ diese Dichte nicht ganz erreicht wird, ist der tatsächliche Wert der thermischen Leitfähigkeit um einige Prozente geringer. Deshalb wurden die thermischen Leitfähigkeiten für PE-CVD SiO$_2$ und thermisches SiO$_2$ in einer Optimierungsschleife angepasst bis die Unterschiede zwischen Simulation und Experiment ein Minimum aufwies. Es ergaben sich [1.3] $\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{mK}}$ für das PE-CVD SiO$_2$ und [1.2] $\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{mK}}$ für die Passivierungsschicht. Die Ergebnisse der Simulationen unter Verwendung der beiden optimierten thermischen Leitfähigkeiten sind in Abb. 7.4 für die Struktur ohne Passivierung und in Abb. 7.5 für die Struktur mit Passivierung dargestellt.

Abbildung 7.4: Simulierte (Linien) und gemessene (Symbole) Temperatur für die Teststruktur ohne Passivierung.

Abbildung 7.5: Simulierte (Linien) und gemessene (Symbole) Temperatur für die Teststruktur mit Passivierung.

Wie die beiden Abbildungen zeigen, konnte eine hervorragende Übereinstimmung zu den Messdaten (Fehler in der Größenordnung der Messgenauigkeit) erzielt werden.