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In den nicht quantisiert betrachteten Raumrichtungen werden die
Elektronen für den Ladungstransport als Wellenpakete dargestellt und
ihnen ein definierter Ort und Impuls zugeordnet. Zur
Bestimmung von makroskopischen Eigenschaften des physikalischen
Systems muss man nun alle Teilchen gleichzeitig verfolgen und die
zeitliche Veränderung aller Koordinaten beschreiben. Ausgangspunkt
dafür ist die statistische Mechanik, in der nicht die Bewegung der
einzelnen Teilchen, sondern das Verhalten einer Verteilungsfunktion
betrachtet wird.
Diese Funktion beschreibt die Verteilung der Teilchen in den freien
Raumrichtungen und ist abhängig von der Zeit, von der Geschwindigkeit
und vom Ort. Die mittlere Teilchenzahl ergibt sich mit dem
Volumselement
des vierdimensionalen Phasenraums.
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(4.1) |
Die zeitliche Entwicklung der Verteilungsfunktion wird durch die
Boltzmann-Gleichung beschrieben.
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(4.2) |
Die beiden Operatoren
und
auf der rechten Seite in (4.2)
stellen dabei alle möglichen Streuungen vom, beziehungsweise in den
Zustand mit dem Wellenvektor
dar. Mehrere Methoden für die
Lösung der Boltzmann-Gleichung haben sich etabliert.
Im Falle der Momentenmethoden werden aus den Momenten der
Boltzmann-Gleichung Differentialgleichungen für makroskopische Größen
hergeleitet. So ergibt sich mit dem nullten und ersten Moment das
Drift-Diffusions-Modell([14]).
Bei zusätzlicher Berücksichtigung des zweiten und dritten
Moments kommt man zum hydrodynamischen Modell ([23]).
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C. Troger: Modellierung von Quantisierungseffekten in Feldeffekttransistoren