A.1 Störungsrechnung

Zu einem Eigenwertproblem seien die Lösungen $E_n^0$ und ${\vert u_n^0 \rangle}$ des ungestörten Problems für den Hamilton-Operator ${\ensuremath{\mathsf{H}}}_0$ bekannt.

$${\ensuremath{\mathsf{H}}}_0 {\vert u_n^0 \rangle} = E_n^0 {\vert u_n^0 \rangle}$$ (A.1)

Die Lösungen ${\vert u_n^0 \rangle}$ sollen ein vollständiges, orthonormiertes Basissystem bilden.

In der nichtentarteten Störungstheorie sucht man nun die Änderung der Eigenwerte und Eigenfunktionen die sich bei Hinzufügen einer Störung ${\ensuremath{\mathsf{H}}}_1$ ergeben.

Zweckmäßigerweise erweitert man das Problem auf einen Hamilton-Operator der Form

$${\ensuremath{\mathsf{H}}} = {\ensuremath{\mathsf{H}}}_0 + \lambda {\ensuremath{\mathsf{H}}}_1$$ (A.2)

und entwickelt die neuen Eigenwerte und Eigenfunktionen nach dem Parameter $\lambda$:

$$E_n = E_n^0 + \lambda E_n^1 + \lambda^2 E_n^2 + \dots$$ (A.3)

$${\vert u_n \rangle} = {\vert u_n^0 \rangle} + \lambda {\vert u_n^1 \rangle} + \dots$$ (A.4)

Durch Einsetzen in die Eigenwertgleichung und Ordnen nach den Potenzen von $\lambda$ erhält man die Lösungen zu den verschiedenen Ordnungen der Störungstheorie. Die fehlenden Bestimmungsgleichungen erhält man aus den Orthonormierungsbedingungen

$${\langle u_k \vert \vert u_n \rangle} = \delta_{k,n}$$ (A.5)

Diese ergeben dann für die erste Ordnung in $\lambda$:

$${} {\ensuremath{\mathsf{H}}}_0 {\vert u_n^1 \rangle} + {\ensuremath{\mathsf{H}}}_1 {\vert u_n^0 \rangle} = E_n^0 {\vert u_n^1 \rangle} + E_n^1 {\vert u_n^0 \rangle}$$ (A.6)

$${} {\langle u_k^0 \vert u_n^1 \rangle} + {\langle u_k^1 \vert u_n^0 \rangle} =$$ 0 (A.7)

Der noch unbekannte Zustand ${\vert u_n^1 \rangle}$ kann nun in der vollständigen Basis des ungestörten Problems entwickelt werden:

$${\vert u_n^1 \rangle} = \sum_k a_{n,k}^1 {\vert u_k^0 \rangle}$$ (A.8)

Setzt man dies in Gleichung (A.6) ein und multipliziert noch mit ${\langle u_k^0 \vert}$ so ergibt sich eine Gleichung für den ersten Koeffizienten der Entwicklung $a_{n,k}^1$.

$$E_k^0 a_{n,k}^1 + {\langle u_k^0 \vert {\ensuremath{\mathsf{H}}}_1 \vert u_n^0 \rangle} = E_n^0 a_{n,k}^1 + E_n^1 \delta_{k,n}$$ (A.9)

Aus der Gleichung (A.7) folgt noch die Bedingung das der Realteil von $a_{n,n}^1$ verschwinden muss. Insgesamt kann man also die Eigenfunktionen aus der Störungsrechnung erster Ordnung als

$${\vert u_n^1 \rangle} = \sum_{k \ne n} \frac{{\langle u_k^0 \vert {\ensuremath{\mathsf{H}}}_1 \vert u_n^0 \rangle}}{E_n^0 - E_k^0}$$ (A.10)

angeben. Für die Energie folgt dann:

$$E_n^1 = {\langle u_n^0 \vert {\ensuremath{\mathsf{H}}}_1 \vert u_n^0 \rangle}$$ (A.11)

$$E_n^2 = \sum_{m\ne n} \frac{\left\vert {\langle u_m^0 \vert {\ensuremath{\mathsf{H}}}_1 \vert u_n^0 \rangle} \right\vert^2} {E_n^0-E_m^0}.$$ (A.12)