Eine Variationsformulierung der Laplace-Gleichung führt direkt zur Methode der finiten Elemente.
Das gesamte zu betrachtende Gebiet muß in finite Teilgebiete, das heißt in kleine Elemente, zerlegt werden.
Die Konstruktion dieser den Raum
ausfüllenden Elemente, auch Gittergenerierung genannt, ist die Hauptschwierigkeit der Methode.
Da z.B. einerseits eine gewisse Elementsqualität, möglichst unverzerrte Elemente
,
aber andererseits auch möglichst wenige Elemente bei beliebigen Geometrien gefordert werden,
müssen diese gleichzeitig unvereinbaren Bedingungen durch einen Kompromiß gelöst werden.
Diese Methode zeichnet sich vor allem durch numerische Robustheit und Genauigkeit aus. Sie kommt einem objektorientierten Programmierstil sehr entgegen. So kann ein Simulator zwei- und dreidimensionale Probleme mit Hilfe von Dreiecks- und Tetraederelementen, unter Verwendung der gleichen Routinen für zwei und drei Dimensionen, lösen. Problemstellungen mit mehreren Materialien können einfach behandelt werden. Ränder, auf denen keine Randbedingungen angegeben werden, haben automatisch homogene Neumann-Randbedingungen. Ein weiterer Vorteil steckt in der Erweiterbarkeit der Methode auf Gebiete mit potentialabhängigen Raumladungen, um auch nichtlineare Kapazitäten zu berechnen. Berechnungen, die unendlich ausgedehnte Feldgebiete benötigen, können nur unter Verwendung spezieller infiniter Elemente [Zie89] oder durch eine Kopplung mit Randintegralmethoden durchgeführt werden.
Numerische Kapazitätsberechnungen mit Hilfe der Methode der finiten Elemente werden in [Hec88] angegeben. Den nichtlinearen Fall berücksichtigt man in [Tra90][Str86][Str85][Str84].
Das Hauptkriterium, das zur Auswahl der Methode der finiten Elemente in dieser Arbeit führte, ist die Erweiterbarkeit auf Gebiete mit Raumladungen und damit auf nichtlineare Kapazitäten.