Die eindimensionalen geradlinigen Elemente haben keinen direkten Bezug zu den verwendeten zwei- oder dreidimensionalen Formfunktionen. Sie sollen aber die Qualitäten und Verwendbarkeit verschiedener Formfunktionen aufzeigen.
Die durch Leiterbahnkanten und Leiterbahnecken entstehenden einspringende Kanten und Ecken in das Isolatorgebiet bilden entlang solcher Kanten oder Punkte Orte mit unendlicher Feldstärke, welche oft einen wesentlichen Beitrag zur gesamten elektrostatischen Energie liefern. Entweder man erhöht die Elementsdichte in solchen Bereichen (h-refinement) oder man erhöht lokal oder global den Ansatzgrad der Formfunktionen (p-refinement). Der Ansatzgrad läßt sich aber nicht beliebig steigern, da es dadurch zu Überschwingern in der Lösung kommen kann. Meist verwendet man Formfunktionen mit Polynomen bis zu dritter Ordnung. Formfunktionen mit Polynomen verschiedener Ordnung in einem Elementsgitter lassen sich nur schwer kombinieren [Zie89].
Eine gute Approximation mit linearen Formfunktionen fordert wieder eine sehr hohe Knotendichte, wodurch der Rang des zu lösenden Gleichungssystems stark in die Höhe getrieben wird.
Die Abbildung 3.8 zeigt die Approximation einer Singularität. Es zeigt sich, daß ein Element mit quadratischer Formfunktion einen guten Kompromiß zwischen Genauigkeit und zusätzlicher Knotenanzahl bewirkt.
Abbildung 3.8: Approximationseigenschaften eindimensionaler linearer und quadratischer Elemente
Abbildung 3.9: Formfunktionen für eindimensionale Elemente
Die notwendigen Formfunktionen sind für den linearen Fall durch
gegeben. Die quadratische Approximation wird durch das Polynom
beschrieben.