Vorkonditionieres
Im Abschnitt 3.10.4 wurde schon ausführlich beschrieben, welches
Diskretisierungsgitter benötigt wird, um eine M-Matrix zu produzieren.
Eine hinreichende Bedingung für die Existenz einer Cholesky Faktorisierung
ist gegeben, wenn 
eine Stieltjes-Matrix
ist.
Ein andere hinreichende Bedingung ist, wenn die Matrix positiv definit,
diagonaldominant und irreduzibel ist [Man79].
Es ist zu bemerken, daß die Diagonaldominanz einer Zeile gefördert wird, je mehr Dirichlet-Knoten in einer Zeile vorhanden sind und sich dadurch im allgemeinen die Kondition der Gesamtmatrix verbessert.
Die unvollständige Cholesky-Faktorisierung braucht also für
beliebige symmetrische Matrizen nicht zu existieren, weil beim
Faktorisierungsprozeß eine reduzierte Matrix indefinit werden kann, was
sich in einem negativen Radikanden äußert. Um die nötige Diagonaldominanz zu
erreichen, hat Manteuffel in [Man79] vorgeschlagen,
die Nebendiagonalelemente abzuschwächen und damit die Pivotelemente 
positiv
zu erhalten.
Es wird also für die Rekursion (4.60) 
statt 
verwendet.
Diese Methode der Vorkonditionierung wird als 
Cholesky
Verfahren bezeichnet.
Ein Dämpfungswert von 
war für die gerechneten Problemstellungen ausreichend.
Eine hohe Dämpfung der Nebendiagonaleinträge bedeutet auch, daß die
Vorkonditionierung verringert und damit das Laufzeitverhalten des ICCG(0)-Lösers
verschlechtert wird.
Es besteht kein Verhältnis zwischen der Größe der Pivotelemente einer vollständigen
Faktorisierung und der unvollständigen Faktorisierung.
Kernaussage von Manteuffel in [Man79] ist auch, daß für eine
unvollständige Faktorisierung nicht positiv definit sein muß, um
positive Pivotelemente 
zu generieren.
Im allgemeinen hängt die Stabilität der Faktorisierung vom Graphen (Knotennumerierung) ab.
Die Stabilität des Systems wird in [Man79] als
definit. Größere 
bedeuten also bessere Stabilität, da bei kleineren 
in
(4.60)
der subtraktive Term kleiner wird.
Zu bemerken ist auch, daß bei quadratischen Formfunktionen positive und negative Einträge
in auftreten. Da aber bei der Rekursion 
gebildet wird, sind die
Vorzeichen der Nebendiagonalelemente nicht von Bedeutung. Die Bedingung, prinzipiell eine
M-Matrix zu fordern, ist schon aus diesem Grund zu hoch gegriffen. Führt man als Test
bei gleicher geometrischer Konfiguration lineare Formfunktionen ein und erhält nun keine
M-Matrix, so kann diese Tatsache zu Problemen bei der Faktorisierung führen.
Da erfahrungsgemäß nur einige Elemente im Gitter problematisch sind, hat sich folgende einfache Methode als Standard für den ICCG(0)-Löser bewährt:
Wird der zweite Term in der Rekursion (4.60) negativ, so wird das Vorzeichen des Terms gewechselt.
Das in Abschnitt 4.6 gerechnete und in
Abbildung 6.1 gezeigte Gitter einer vereinfachten DRAM-Verdrahtungsstruktur
besitzt einige qualitativ schlechte Elemente. Bei einem Rang von 
treten ohne
spezielle Maßnahmen 
negative auf und die Iteration divergiert sofort.
Abbildung 4.10: Konvergenzverhalten für DRAM-Beispiel, quadratische Formfunktionen,
Rang 4277, erster Lauf, ICCG(0)
Das in Abbildung 4.10 sichtbare Plateau ist auch bei dem gewöhnlichen CG-Löser zu beobachten und damit nicht auf den Vorkonditionierer zurückzuführen. Der CG-Löser benötigt für das gleiche Problem jedoch 130 Iterationen.
Eine kleine Verbesserung des Konvergenzverhaltens kann auch durch eine Knotennumerierung nach dem Cuthill-McKee-Verfahren beobachtet werden. Für das angeführte Beispiel verringert sich die Iterationsanzahl von 60 auf 57. Diese Laufzeitverbesserung im Löser reicht bei realistischen Beispielen jedoch nicht aus, um den Aufwand zu kompensieren.