Betrachtet man die Triangulierung in der Abbildung 5.5, so erkennt man, daß über den Einschnitt hinweg Dreiecke gebildet wurden. Diese gültige Delaunay-Zerlegung ist für die weiteren Berechnungen ungeeignet, da alle Dreiecke die Materialgrenzen berücksichtigen müssen. Setzt man weitere Randpunkte ein, so wird nun die Geometrie richtig aufgelöst. In Abbildung 5.6 wurden an den zwei nahezu rechtwinkligen Schnittpunkten von Dreieckskanten und der Berandung zusätzliche Punkte eingesetzt (Stitching). Der dritte Schnittpunkt ist hier nicht notwendig, um eine sogenannte Delaunay-Berandung zu bilden. In [Sap91] werden speziell für zweidimensionale Zerlegungen Strategien gezeigt, an welchen Stellen zusätzliche Punkte einzusetzen sind, um einen Delaunay-Rand zu erhalten. Bei dreidimensionalen Zerlegungen treten Probleme in der gleichen Art auf, nur ist es hier etwas komplizierter, Punkte an Randflächen so einzusetzen, daß qualitativ hochwertige Elemente entstehen.
Untersucht man die in Abbildung 5.5 gezeigte Struktur genauer, so erkennt man, daß ein Dreiecksumkreis vier Dreieckseckpunkte enthält. Für eine numerisch richtige Zerlegung ist es daher notwendig, einen Toleranzbereich für die am Umkreis liegenden Punkte einzuführen, um z.B. zu verhindern, daß ein Punkt der vier Punkte als im Umkreis liegend klassifiziert wird. Bei dreidimensionalen Zerlegungen sind Probleme, welche aus einer endlichen Zahlengenauigkeit entstehen, nicht zu unterschätzen.
Eine andere Problematik ist symptomatisch für räumliche Delaunay-Zerlegungen.
Während bei zweidimensionalen Algorithmen immer Dreiecke mit gewissem finitem
Flächeninhalt produziert werden
,
besteht bei einer dreidimensionalen Delaunay-Zerlegung die
Möglichkeit, daß degenerierte Elemente produziert werden. Bewegt man
nämlich den Punkt 4 in Abbildung 5.7 entlang des Kugelrandes in
die Dreiecksfläche (1,2,3), so ist eine gültige Delaunay-Zerlegung gegeben,
aber das Element besitzt kein Volumen.
Abbildung 5.7: Delaunay-Kriterium in drei Dimensionen
In [Sch90] wird angegeben, daß bei Testbeispielen oft über 
der Elemente
degeneriert waren (Sliver-Elemente) und etwa 
Prozent dieser
degenerierten Elemente durch topologische Umformungen entfernbar waren.
Die Abbildung 5.8 zeigt vier Tetraeder (1,2,4,5), (4,2,3,6), (1,3,2,7) und (1,4,3,7), die qualitativ in Ordnung sind. Das fünfte Element (1,2,3,4) ist degeneriert. Dieses Element kann jedoch ganz einfach aus dem Gitter entfernt werden, wenn die Pyramide (1,4,3,2,7) nun in der zweitmöglichen Art geteilt wird und dadurch die beiden Tetreader (1,4,2,7) und (4,3,2,7) gebildet werden.
Die in Abbildung 5.9 gezeigte Struktur mit degeneriertem Element, die aus ingesamt fünf Tetraedern (1,2,4,5), (4,2,3,6), (1,3,2,7), (1,4,3,8) und (1,2,3,4) aufgebaut ist, kann nicht mehr durch eine lokale Manipulation von drei Elementen aus dem Gitter entfernt werden.
In [Cav85] wird vorgeschlagen, z.B. Punkt 
auf 
zu verschieben, um
dadurch dem degenerierten Element (1,2,3,4) ein Volumen zuzuordnen. In [Sch90]
wird angegeben, daß Laplace-Smoothing eine sehr gute Möglichkeit ist, degenerierten
Elementen ein Volumen zu geben.
Stellt man sich ein System von Federn, die vom zu relaxierenden Punkt, zu allen nächsten
Nachbarn gespannt sind, vor und kann sich der Punkt verschieben, so wird sich ein
Gleichgewichtszustand einstellen, wobei die Energie minimiert wird. Punkt für Punkt wird die lokale Optimierung
durchgeführt. In einer äußeren Schleife werden die Relaxierungen über das Gesamtgitter
so lange durchgeführt, bis die Gitterpunktsverschiebungen unter einem gewissen Grenzwert
liegen.
Es soll jedoch auf die Problematik bei Anwendung dieser einfachen Methode auf konkave Gebiete aufmerksam gemacht werden. Sind einspringende Kanten vorhanden, so können Punkte, die nahe am Rand liegen, nach der Relaxation außerhalb der Berandung liegen. Aufwendigere Verfahren, die Penality-Terme verwenden, die als Flächen oder Volumen definiert sind, können diese Probleme unterdrücken [Tho85][V-Bau90].
Die beiden angegeben Methoden zur Gitteraufbereitung nehmen keinerlei Rücksicht auf die ursprüngliche Delaunay-Struktur des Gitters. Eine Gitterverfeinerung nach der in Abbildung 5.4 angegebenen Methode ist dann meist nicht mehr möglich. Eine neue Delaunay-Zerlegung kann wieder degenerierte Elemente produzieren.
