2.2.7 Formale Transporttheorie

Die formale Transporttheorie ermöglicht die Berechnung makroskopischer Transportkoeffizienten unter einschränkenden Annahmen [18], [120]:

1. Es wird vorausgesetzt, daß elektrische Felder hinreichend klein sind, sodaß der lineare Zusammenhang von Strömen und treibenden Kräften erfüllt ist.
2. Die Relaxationszeitnäherung muß erfüllt sein.
3. Die Relaxationszeit hängt nur von bzw. ab. Sie ist unabhängig vom Ort.
4. Es werden isotrope, parabolische Energiebänder vorausgesetzt.
5. Nur stationäre Verhältnisse werden betrachtet.

Die elektrische Stromdichte kann aus der Teilchenstromdichte durch Multiplikation mit der Einheitsladung berechnet werden. Setzt man die Lösung der Boltzmanngleichung (2.82) in die Definition der Teilchenstromdichte (2.37) ein, ergibt sich [120], [121], [197]:

Analog erhält man für die Gesamtenergiestromdichte (2.39):

Nur der asymmetrische Anteil in Gl. (2.82) liefert einen Beitrag zu den Flußgrößen , . Mit Hilfe der Identität können Gl. (2.88) und (2.89) in Komponentenschreibweise dargestellt werden [52], [120], [197]:

, sind treibenden Kräften proportional. Die Integrale stellen makroskopische Transportkoeffizienten dar. Sie sind im allgemeinen Fall Tensoren.

Die resultierende treibende Kraft kann nach Gl. (2.83), (2.84), (2.85), (2.86) und (2.87) in Abhängigkeit verschiedener, einzelner, treibender Kräfte dargestellt werden. Die Vorfaktoren der Gradienten sind teilweise vom Wellenvektor abhängig, was bei der Auswertung der Transportintegrale berücksichtigt werden muß. Die Entscheidung für eine bestimmte Kombination einzelner treibender Kräfte bedingt die physikalische Bedeutung der Transportparameter (siehe Kapitel 3 und 4).

Die Wahl der Gesamtenergiestromdichte bedingt die Verwendung der treibenden Kraft in der in Gl. (2.85) gegebenen Form (die Begründung wird in Kapitel 4 gegeben). Schreibt man , in Komponentenschreibweise an, erhält man:

Die Transportintegrale für das Flußsystem (2.92), (2.93) können zusammengefaßt werden (z.B. [52]):

Gl. (2.94) kann für Standardbänder (Isotropie, Parabolizität) ausgewertet werden. Sie läßt sich - unter Berücksichtigung von Gl. (2.33) und (2.77) - auf folgendes Integral zurückführen [52], [197] (der Index von wird aus Gründen der Übersichtlichkeit weggelassen):

Lösungen von Gl. (2.95) sind Fermiintegrale der Ordnung :

, enthalten die konstanten Anteile der Zustandsdichte . Für den nichtentarteten Halbleiter kann die Boltzmannstatistik verwendet werden. Die Lösung des Transportintegrals kann dann mit Hilfe von Gammafunktionen ausgedrückt werden:

Ein wesentliches Ergebnis der formalen Transporttheorie ist die Berechnung der kinetischen Transportenergie eines Elektrons unter dem Einfluß externer Felder. Weil zu diesem Zweck nur Verhältnisse von Gl. (2.96) zu betrachten sind, ist die Auswertung besonders einfach:

Außerdem läßt sich zeigen, daß innerhalb der Relaxationszeitnäherung das Wiedemann-Franzsche Gesetz erfüllt ist.

Nach Gl. (2.99) ist die Wärmeleitfähigkeit der Elektronen der elektrischen Leitfähigkeit proportional. wird als Lorenzzahl bezeichnet. Ihr Wert ist vom dominierenden Streumechanismus und vom Umstand abhängig, ob der Halbleiter entartet ist oder nicht (z.B. [52], [71], [120], [153], [197]).